第五章 第二节 解三角形

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?sin2C?sinC,cosC?1?,C?.23

,得2sinC?sinA?sinB， （2）由sinA,sinC,sinB成等差比数列由正弦定理得2c?a?b.

?CA?(AB?AC)?18,?CA?CB?18，

即abcosC?18,ab?36.

2222c?a?b?2abcosC?(a?b)?3ab， 由余弦弦定理

?c2?4c2?3?36,c2?36，?c?6.

6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）在△ABC中，设A、B、C的对 边分别为a、b、c向量m?(cosA,sinA),n?(2?sinA,cosA),若|m?n|?2,

（1）求角A的大小； （2）若b?42,且c?2a,求?ABC的面积.

解（1）m?n?(2?cosA?sinA,cosA?sinA)

|m?n|?(2?cosA?sinA)2?(cosA?sinA)2?4?4sin(A?)

4??|m?n|?2

?sin(A?)?0,

4又?0?A??

????4?A??4?

3?, 4?A??4?0,A??4（2）?c?2a,A??4

?csinC??2, asinA?sinC?1,又?0?C??

?C??2

?ABC为等腰三角形，SABC?1?(42)2?16 2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

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7.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）在锐角?ABC中，已知内角A、

B、C所对的边分别为a、b、c，向量

?B?m?(2sin(A?C),3),n??cos2B,2cos2?1?，且向量m,n共线。

2??（1）求角B的大小；

（Ⅱ）如果b?1，求?ABC的面积S?ABC的最大值。

解：（1）由向量m,n共线有： 2sin(A?C)?2cos2即tan2B?3， 2分 又0?B?则2B=

??

??B??1??3cos2B, 2??2，所以0?2B??，

??，即B? 4分

63222（Ⅱ）由余弦定理得b?a?c?2accosB,则 1?a2?c2?3ac?(2?3)ac，

所以ac?2?3,当且仅当a?c时等号成立 9分 所以S?ABC?11acsinB?(2?3)。 10分 248.(广东省广州市2009年模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=

3． 5(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．

3>0，且0

5ab?由正弦定理得， sinAsinB42?asinB5?2. sinA??b451(2) ∵S△ABC=acsinB=4，

214 ∴?2?c??4， ∴c=5.

25解：(1) ∵cosB=

由余弦定理得b2=a2+c－2accosB，

2

∴b?a+c?2accosB?2222+52?2?2?5?3?17. 59.（辽宁省抚顺市2009模拟）在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

(2a?c)cosB?bcosC?0．

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（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若a?c?4，求?ABC面积S的最大值．

解 （Ⅰ）由正弦定理得(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC?0， 即2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0

得2sinAcosB?sin(B?C)?0，因为A?B?C?π，所以sin(B?C)?sinA，得2sinAcosB?sinA?0，因为sinA?0，

2π1，又B为三角形的内角，所以B?

3212π12?（Ⅱ）S?acsinB，由B?及a?c?4得S?a(4?a)sin

2323所以cosB???33[4?(a?2)2]， (4a?a2)?44又0?a?4，所以当a?2时，S取最大值3 ……3分 10.（新宾高中2009届高三年级第一次模拟考试）在△ABC中，tanA=

(1)求角C的大小； (2)若AB边的长为17，求BC边的长． 解 （Ⅰ）?C?π?(A?B)，

13，tanB=． 4513?45??1．又?0?C?π，?C?3π．（6分） ?tanC??tan(A?B)??1341??45sinA1?tanA??，??π?（Ⅱ）由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2．．?，?BC?AB?（6分） sinCsinAsinC17BC的11.（山东省济宁市2009高三第一阶段质量检测）在?ABC中，a、b、c分别为角A、、对边，且满足b?c?a?bc. （Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若a?3，设角B的大小为x,?ABC的周长为y，求y?f(x)的最大值.

222b2?c2?a21? 解：（Ⅰ）在?ABC中，由b?c?a?bc及余弦定理得cosA?2bc2222七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

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而0?A??，则A??3；

（Ⅱ）由a?3,A??3及正弦定理得

bca???sinBsinCsinA3?2， 322?2?2??x，则b?2sinx,c?2sin(?x)(0?x?) 3332???x)?23sin(x?)?3， 于是y?a?b?c?3?2sinx?2sin(362???5???? 由0?x?得?x??，当x??即x?时，ymax?33 366662353cosA??,cosB?, 12.（山东省试验中学2009年高三第三次诊断性考试）在?ABC中，

135（1）求sinC的值

（2）设BC?5，求?ABC的面积

而B?x,C?

512,sinA?，得 131334由cosB?,sinB?，得

55又A?B?C??

.解（I）由cosA??所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?16 654BC?sinB5?13 （II）由正弦定理得AC??12sinA3131113168? 所以?ABC的面积S??BC?AC?sinC??5??2236535?13.（山东省潍坊市2009高三一模）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量

m=(2sinB，2-cos2B)，n?(2sin((1)求角B的大小；

(2)若a?3，b=1，求c的值．

解：(I) ?m?n ?m?n?0,?4sinB?sin(22?4?B),1) ,m⊥n, 2??)?cos2B?2?0，………2分 42?2sinb[1?cos(?B)]?cos2B?2?0,?2sinB?2sin2B?1?2sin2B?021?sinB?2?

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