浙江省金丽衢十二校2019年高三第一次联考数学试题(解析版)

（2）由累加法求出an，从而求出bn，进一步求出Sn，换元作差求出结果． 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用累加法和作差法是解决本题的关键．

21.【答案】解：（1）由勾股定理、三角形面积可得：

|MN|2=|OM|2+|ON|2≥2|OM|?|ON|，|MN|=|OM|?|ON|， ∴|MN|≥2．

S△OMN= |MN|?1≥ =1， 即△MON的面积的最小值为1． （2）设E（ cosθ，sinθ）， 则AE方程为：y=则M为 ，

（x+ ），

，同理N为 ， ，

∵OM⊥ON，

? =t2- =0，得t= 2． ∴

【解析】

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（1）由勾股定理、三角形面积可得：|MN|=|OM|+|ON|≥2|OM|?|ON|，

|MN|=|OM|?|ON|，|MN|≥2．再利用S△OMN=|MN|?1，即可得出． （2）设E（

cosθ，sinθ），可得AE方程为：y=，同理N为

性质即可得出．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的参数方程、向量垂直与数量积的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22.【答案】（1）证明：∵f（x）=-x3+9x2-26x+27，∴f′（x）=-3x2+18x-26，

由题意得，x1+x2=6，

则f（x1）+f（x2）=

=

=

= -102 =-6（36-3x1x2）+9（36-2x1x2）-102 =-216+18x1x2+324-18x1x2-102 =6；

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（x+），可得M为

，根据OM⊥ON，利用数量积运算

（2）解：∵f″（x）=-6x+18=-6（x-3），

∴函数f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（3，+∞）的图象为上凸， 记P（3，f（3）），求得P处f（x）的切线为y=x，再记Q（0，a）， 由f′（x）=0，求得的极大值点为M（ ，

），

①当a≥ 时，直线y=kx+a与曲线y=f（x）显然只有唯一公共点；

②当3≤a＜ 时，直线QM斜率为正，且与曲线y=f（x）有三个公共点，舍去；

③当0＜a＜3时，直线QP斜率为正，且与曲线y=f（x）有三个公共点，舍去；

④当a≤0时，若k∈（0，kPQ），P在直线上方，直线y=kx+a与曲线y=f（x）的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；

若k=kPQ，直线y=kx+a与曲线y=f（x）交于P点，与上凸部分和下凸部分均不相交； 若k∈（kPQ，+∞），P在直线下方，直线y=kx+a与曲线y=f（x）的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．

综上，a的取值范围为（-∞，0]∪[3+ ， ）．

【解析】

（1）求出原函数的导函数，结合在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等及根与系数的关系可得x1+x2=6，从而求得f（x1）+f（x2）为定值6；

（2）由f″（x）=-6（x-3），可知函数f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（3，+∞）的图象为上凸，求得函数的极大值点为M（

），再由直线y=kx+a过

点（0，a），然后对a分类讨论求使直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点的实数a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查转化与化归思想方法，考查推理论证能力，是中档题．

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