2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最性分层演练 文

3．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝

f(x)

在区间I上是减函数，那么x12

称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x23

－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )

2

A．[1，＋∞) C．[0，1]

B．[0，3] D．[1，3]

123

解析：选D.因为函数f(x)＝x－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，

22＋∞)上是增函数，又当x≥1时，13x－3

＝－2＝2， 22x2x由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数增区间”I为[1，3]．

4．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a的值是________．

2

f(x)1313

＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)x22x22xf(x)13

＝x－1＋在区间[1，3]上单调递减，故“缓x22xax(2x－a)，x>，??2

解析：f(x)＝x|2x－a|＝?(a>0)，作出函数图象(图略)可得该函数

a??－x(2x－a)，x≤2a≤2，??4aa??的递减区间是?，?，所以?解得a＝8.

?42?a??2≥4，

答案：8

1

5．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)

a的最大值．

?1?1

解：f(x)＝?a－?x＋，

?

a?

a

1

当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，

a1

所以g(a)＝f(0)＝；

a1

当0

a所以g(a)＝f(1)＝a；

当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.

a，0

所以g(a)＝?1，所以g(a)在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又

，a≥1??aa＝1时，有a＝＝1， a所以当a＝1时，g(a)取最大值1.

6．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f(x)＋f(y)＝f(xy)． (1)求证：f(x)－f(y)＝f??； (2)若f(4)＝－4，解不等式f(x)－f?

1

?x??y?

?1?≥－12.

??x－12?

解：(1)证明：由条件f(x)＋f(y)＝f(xy)

????可得f??＋f(y)＝f?·y?＝f(x)， yy??

?

?

所以f(x)－f(y)＝f??. (2)因为f(4)＝－4，

所以f(4)＋f(4)＝f(16)＝－8，

xx?x?

?y?

f(4)＋f(16)＝f(64)＝－12.

由(1)可得f(x)－f?＝f(x(x－12))．

又f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，

?1?

??x－12?

x>0，??

?x>12， ?1

>0??x－12

由f(x)－f?

?1?≥－12，

??x－12?

即f(x(x－12))≥f(64)，

所以x－12x－64＝(x－16)(x＋4)≤0，

2

得－4≤x≤16，又x>12，所以x∈(12，16]． 故原不等式的解集为{x|12