2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最性分层演练 文

第2讲 函数的单调性与最性

1．函数f(x)＝

在( ) 1－xxA．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数

解析：选C．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝

11＝－1，根据函数y＝－1－x1－xxx的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．

??1??2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f????

??x??

A．(－1，1) C．(－1，0)∪(0，1)

B．(0，1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C．因为f(x)在R上为减函数，且f?所以0

?1?1，即0<|x|<1， ?|x|?|x|?

3．若函数f(x)＝8x－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，8]

C．(－∞，8]∪[40，＋∞)

B．[40，＋∞) D．[8，40]

2

2

解析：选C．法一：由题意知函数f(x)＝8x－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函

8数f(x)＝8x－2kx－7在[1，5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所

88以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C．

法二：取k＝0，则函数f(x)＝8x－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B、D；取

2

2

kkkk＝40，则函数f(x)＝8x2－80x－7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A．故选C．

4．(2019·贵阳检测)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a

A．－1 C．6

B．1 D．12

2

解析：选C．由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1

3

因为f(x)＝x－2在[－2，1]上是增函数， 所以f(x)≤f(1)＝－1，

因为f(x)＝x－2在(1，2]上是增函数， 所以f(x)≤f(2)＝6， 所以f(x)max＝f(2)＝6. 5．已知函数f(x)＝log2x＋A．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0

1

，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则( ) 1－xB．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

3

1

解析：选B．因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以

1－x当x1∈(1，2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.

6．(2019·湖北八校联考(一))设函数f(x)＝

2x在区间[3，4]上的最大值和最小值分x－2

m2

别为M，m，则＝________.

M解析：易知f(x)＝

2x4＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)x－2x－2

2

44m168

＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.

3－24－2M63

8答案：

3

7．函数f(x)＝|x－1|＋x的值域为________．

??x＋x－1，x≥12

解析：因为f(x)＝|x－1|＋x＝?2，

?x－x＋1，x＜1?

2

2

2

?x＋1?－5，x≥1?????2?4

所以f(x)＝?，

2

?x－1?＋3，x＜1?????2?4作出函数图象如图，

?3?2

由图象知f(x)＝|x－1|＋x的值域为?，＋∞?.

?4??3?答案：?，＋∞?

?4?

1，x>0，??2

8．设函数f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝xf(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

??－1，x<0，

x，x>1，??

解析：由题意知g(x)＝?0，x＝1，函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．

??－x2，x<1.

2

答案：[0，1)

11

9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．

ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

?1??1?(2)若f(x)在?，2?上的值域是?，2?，求a的值． ?2??2?

解：(1)证明：任取x1>x2>0，

1111x1－x2

则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，

ax1ax2x1x2

因为x1>x2>0，

所以x1－x2>0，x1x2>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

?1?(2)由(1)可知，f(x)在?，2?上为增函数，

?2?

1?1?1

所以f??＝－2＝，

2?2?af(2)＝－＝2，解得a＝. a25

10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)． (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；

(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时

112

axx的值．

1

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1>x2>0，

x1??11??则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－?－?＝(x1－x2)?2＋?.

?x1x2??x1x2?

因为1≥x1>x2>0， 所以x1－x2>0，x1x2>0. 所以f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．

(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a； －a当a<0时，f(x)＝2x＋，

x当

－≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x2

a＝1时取得最小值2－a；

当

－<1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在?0， 2?

a?

－?上单调递减，在?

2??

a??

－，1?

2?

a?

上单调递增，无最大值，当x＝

－时取得最小值2－2a. 2

a?3(a－3)x＋2，x≤1，?

1．已知函数f(x)＝?对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－

??－4a－ln x，x>1，

f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，3] C．(3，＋∞)

B．(－∞，3) D．[1，3)

解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)

?a－3<0，?

为R上的单调递减函数，则?解得1≤a<3.故选D.

?3(a－3)＋2≥－4a，?

2．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是( )

A．2 C．6

B．4 D．8

解析：选C．在同一直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2时取得最大值6.