毕业设计（论文）-等价无穷小量的性质及推广应用

各专业完整优秀毕业论文设计图纸

等价无穷小量的性质及推广应用

摘 要

等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到洛比达法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量.

关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性

1

目 录

1 引言 .................................................................... 3 2 文献综述 ................................................................ 3 2.1 国内外研究现状 ........................................................ 3 2.2 国内外研究现状评价 .................................................... 3 2.3 提出问题 .............................................................. 3 3等价无穷小量的概念及其重要性质 .......................................... 3 3.1 等价无穷小量的概念 .................................................... 4 3.2等价无穷小量的重要性质 ................................................ 5 3.3等价无穷小量性质的推广 ................................................ 5 4 等价无穷小量的应用 ...................................................... 9 4.1求函数的极限 .......................................................... 9 4.2等价无穷小量在近似计算中的应用 ....................................... 10 4.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 ................................. 10 4.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 ................................... 11 5等价无穷小量的优势 ..................................................... 12 5.1运用等价无穷小量求函数极限的优势 ..................................... 13 5.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势 ................................. 14 6 结论 ................................................................... 15 6.1主要发现 ............................................................. 15 6.2启示 ................................................................. 15 6.3局限性 ............................................................... 16 6.4努力方向 ............................................................. 16 参 考 文 献 .............................................................. 17

2

1 引言

等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.

2 文献综述

2.1 国内外研究现状

现查阅到的国内外参考文献[1—15]中，作者们都不同程度地探讨了等价无穷小的概

念及其重要性质和应用。文献[1]同济大学应用数学系主编.高等数学.杨文泰 的文献[2]都从不同程度上讲解了 等价无穷小的概念。彭康青,马振民的文献[5]，尤晓琳,吴振芬的文献[4]屈红萍,赵文燕的文献[8]都对等价无穷小求极限进行了讲解研究并得出一些方法；文献[3]王斌对用罗比塔法则求未定式极限的局限性进行了探讨。冯录祥，段丽凌,杨贺菊，王强，龚萍，张云霞，陈大桥，张高明，李权，蹇小平， 殷君芳等分别在文献[6，7,9-15]中对等价无穷小进行了一定的讲解与探究，提出了一些合理的应用方法和推广实例，但存在一定的极限.

2.2 国内外研究现状评价

在查阅到的国内外参考文献[1-15]中，对等价无穷小作了一定的研究，给出了一些建议与方法，但系统性不强，比较零散，但在数学中，等价无穷小的应用是很重要的。

2.3 提出问题

本文在查阅到的相关参考文献的基础上，对等价无穷小的应用，提出了开门见山直接导入，并通过相关例题说明其概念，性质及其应用。

3等价无穷小量的概念及其重要性质

无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。

3

当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。

常见性质有：

设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ

性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：

③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′ 证明：∵

limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β =lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′

④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′

此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。

3.1 等价无穷小量的概念

定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量. 如函数x, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x→0 时的无穷小量.对于

1数列只有一种情形, 即n→∞, 如数列{ n} 为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.

2注意：

1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.

4