复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性

【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义

如果y是u的函数，u又是x的函数，即y?f(u)，u?g(x)，那么y关于x的 函数y?f(g(x))叫做函数y?f(u)（外函数）和u?g(x)（内函数）的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为y。 例如：函数y?2x2?1 是由y?2u和u?x2?1 复合而成立。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数y?f(g(x))中x的取值范围。

⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。 ⑶f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域

① 已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域的方法：

已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即

u?(a,b)，g(x)?(a,b)。通过解不等式a?g(x)?b求得x的范围，即为f(g(x))的定义域。

② 已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求f(x)的定义域的方法： 若已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求即x?(a，b)。先利用a?

3．求有关复合函数的解析式 ①已知②已知

f(x)的定义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，

x?b求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f(x)的定义域。

f(x)求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可。 f[g(x)]求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法。

f[g(x)]中把关于变量x的表达式先凑成g(x)整体的表达式，再直接把g(x)换

配凑法：就是在成x而得

f(x)。

1

换元法：就是先设g(x)?t，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入中消去x得到

4.求复合函数的单调性 若u?g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则

5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】

f[g(x)]f(t)，最后把f(t)中的t直接换成x即得f(x)。

y?f(x) 则y?f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 一、复合函数定义域解析式

例1 设函数f(x)?2x?3,g(x)?3x?5，求f(g(x)),g(f(x))．

例2 已知f(2x?1)?x2?2x，求f(22?1)

例3 ①已知 f(x)?x2?1,求f(x?1)；

②已知 f(x?1)?(x?1)2?1，求f(x)．

例4 ⑴若函数f(x)的定义域是[0，1]，求f(1?2x)的定义域；

⑵若f(2x?1)的定义域是[-1，1]，求函数f(x)的定义域； ⑶已知f(x?3)定义域是??4,5?，求f(2x?3)定义域．

2

1 ，求f(x)； x11 ②已知f(x?)?x2?2，求f(x?1)．

xx

例5 ①已知f(x?1)?x?例6 ①已知f(x)是一次函数，满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)；

1②已知3f(x)?2f()?4x，求f(x)．

x

二、复合函数单调性及其值域 ①初等函数复合求单调区间与值域

?1?例1 已知函数y????3?

变式练习1

x2?2x?5，求其单调区间及值域。

1.求函数f(x)=0.51?2x?x的单调区间及值域

2.求函数y?4

例2 求f(x)=5-4x-x2的单调区间及值域

3

x?122?3?2x?5的单调区间和值域.

变式练习2 求函数f(x)=2

1例3 求y?(log1x)2?log1x?5在区间[2,4]上的最大值和最小值

2221?x2的单调区间及值域

变式练习3

1.求函数f(x)?log2(5?4x?x2)的单调区间及值域

2.求函数y?log2

xx·log2(x?[1,8])的最大值和最小值. 24②含参数的复合函数单调性与值域问题

例4 已知函数f(x)?loga(3x2?5x?2)（a?0且a?1）试讨论其单调性。

例5 求函数y?loga(2?ax?a2x)的值域。

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