八年级下册第一章三角形的证明测试题含答案

6．如图，连结PA以BP为边作?PBQ?60，，PB，PC，P是等边三角形ABC内的一点，且BQ?BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA:PB:PC?3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 拓展延伸

7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？ （1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）． 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC，△A1B1C1均为锐角三角形，AB?A1B1，BC?B1C1，?C??C1． 求证：△ABC≌△A1B1C1． （请你将下列证明过程补充完整．）

证明：分别过点B，B1作BD?CA于D，B1D1?C1A1于BD1， 则?BDC??B1D1C1?90， BC?B1C1，?C??C1， ?△BCD≌△B1C1D1， ?BD?B1D1．

B1A

P

C

Q

B

CD

AC1D1A1（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

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附答案 一．选择题

1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 10．B 二．填空题

1．10° 2．2．6cm 3．2000 4．等腰直角 5．①②③ 6．3 7．三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题。 8．32cm 三．解答题

1．证明：(1)因为AB=AC，所以∠B=∠C， 在△BDE和△CDF中

BD=CD ∠B=∠C BE=CF

所以△BDE≌△CDF

1DB，根据直角2111三角形中30°对的直角边等于斜边的一半可知，BE=DB，BD=AB，所以GH=AB．

422(2)因为G是AB的中点，且GH∥BD，所以GH是△ABD的中位线，所以GH=2．解：（1）CG?BH，AG?CH，OG?OH （2）∠ACB?90，AC?BC，AO?BO，

?CO?OB，CO?AB，∠ABC?45．

∠COG?∠GOB?90，∠BOH?∠GOB?90，

?∠COG?∠BOH．

?∠OBH?180?45?135，∠GCO?90?45?135，又∠ABC?∠OCB?45，

?∠GCO?∠OBH． ?△GCO≌△HBO ?CG?BH．

3．解：需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF． 添加BD=CD的理由：

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如图，因为AB=AC，所以∠B=∠C．

又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD． 所以△BDE≌△CDF (AAS)． 所以DE= DF． 添加BE=CF的理由： 如图，因为AB=AC， 所以∠B=∠C．

因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD． 又因为BE=CF，所以△BDE≌△CDF (ASA)． 所以DE= DF．

4．（1）证明：由题意得?A??B?90，?A??D，

A E P N M B

D

∴?D??B?90．

∴AB⊥DE．

（2）若PB?BC，则有Rt△ABC≌Rt△DBP．

∵?B??B，?A??D，BP?BC，

F C ∴ Rt△ABC≌Rt△DBP．

说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：

Rt△APN≌ Rt△DCN、Rt△DEF≌ Rt△DBP、Rt△EPM≌ Rt△BFM． 5．解：根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm． △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t ) cm．

△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ＝即t＝

12BP．

12(3－t )，t＝1 (秒)．

当∠BPQ＝90°时，BP＝

12BQ．3－t＝

12t，t＝2 (秒)．

答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． 6．解：（1）猜想：AP?CQ

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证明：在△ABP与△CBQ中，

∵AB?CB，BP?BQ，?ABC??PBQ?60

∴?ABP??ABC??PBC??PBQ??PBC??CBQ ∴△ABP≌△CBQ ∴AP?CQ

（2）由PA:PB:PC?3:4:5 可设PA?3a，PB?4a，PC?5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB?BQ?4a，且?PBQ?60

∴△PBQ为正三角形 ∴PQ?4a

于是在△PQC中，∵PQ?QC?16a?9a?25a?PC

222222∴△PQC是直角三角形

7．解：（1）又

AB?A1B1，?ADB??A1D1B1?90，

?△ADB≌△A1D1B1， ??A??A1，

又?C??C1，BC?B1C1， ?△ABC≌△A1B1C1．

（2）若△ABC，△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB?A1B1，BC?B1C1，?C??C1，则△ABC≌△A1B1C1．

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