数学分析课程设计

（2）书P215 #4

证：为叙述方便起见，不妨设c=b。因为f在[a,b]上有界，因此存在M>0，使得

iman?b，因l所以对于充分小的正数?（设??f?x??M,x??a,b? ，???0，

n???4m），

存在N>0 , 当n>N时，an?(b??,b]，也就是说，f在?a,b???上至多只有有限个间断点，从而它在?a,b???上可积. 于是存在分割T1??a,b????，使得

f??i?xi??2?T1?；把T1和

?b??,b?合起来，构成分割T([a,b]),而且有

fff??i?xi???i?xi??n???2?2M??4M??

?T??T1?这就证得f在[a,b]上可积.

证明思路： 把区间[a,b]分成两个部分，一个部分间断点有限个，使用区间上有限个间断点的有界函数可积性质，再和另一个部分合起来便可以证得。

4.详细说明数列收敛与其子列收敛之间的各种关系；要求给出证明或给出反例。 解：数列{an}收敛的充要条件是：{an}的任何子列都收敛. 证： 充分性 因为{an}也是自身的一个子列，所以结论是显然的.

必要性 设liman?a，{ank}是{an}的任一个子列.对任给的正数?，存在正数N，

n??当K>N时有ak?a??.又因为nk?k，所以当K>N时有ank?a??.这就证明了{ank}收敛.（且和{an}有相同的极限）

由上述证明可见，若数列{an}的任何子列都收敛，则所有这些子列与{an}必收敛于同一个极限.于是，若数列{an}有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{an}一定发散.例如数列{?-1?}，其偶数项组成的子列{?-1?}收敛于1，而奇数项组成的子列

n2k收敛于-1，从而{?-1?}发散.

n

5.举例说明数学分析中几种运算可交换次序的条件。 解：

（1）在函数项级数运算中，{fn?x?}中两个独立变量x与n，在分别求极限时其求极限的次序可以交换，即limlimfn?x??limlimfn?x?.

x?x0n??n??x?x0 条件：要求函数项级数一致收敛.

由书上定理13.8 ：设函数列{fn}在?a,x0???x0,b? 上一致收敛于f(x)，且对每个n，

x?x0limfn?x??an，则liman和limf?x?均存在且相等。得

a??x?x0

（2）在函数项级数运算中，（无限项）求和运算和求极限运算可以交换顺序，即

?limu?x????lim??u?x?? ????x?x0nx?x0n 条件：要求函数项级数在区间上一致收敛. 由书上定理13.12： 若函数项级数则其和函数在[a,b]上也连续.

?u?x?在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，

n