3.示范教案，（2.1 对数与对数运算 第3课时）

第3课时 指数与指数幂的运算(3)

导入新课 思路1.

同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路2.

同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题

①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？

②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

2的过剩近似值5 1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563 5252的近似值 11.18033989 9.82935328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.73817752 的近似值 2的不足近似值 1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 213 9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗?

④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5

21.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 ,根据你学过的知识,能作出判

断并合理地解释吗?

⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?

活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.

问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于

2,称2的不足近似值,而

1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值. ②第一个表:从大于2的方向逼近2时,5的方向逼近5

22就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52

.

2第二个表:从小于2的方向逼近2时,5的方向逼近5

2就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5

2.

2从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面551.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于551.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5即逼近5

222从从

2的方向接近5

22,而另一方面5

2的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,

,所以5

2是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理

数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5

2的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5

22一定

是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.