标题-2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时跟踪检测(五十一) 圆锥曲线的综合问题

课时跟踪检测（五十一） 圆锥曲线的综合问题

一保高考，全练题型做到高考达标

1．抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为( ) A.2 C．22

72B. 852D.

6

解析：选B 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，

则d＝?－?x－1?2－7 ?

|x－y－2||－x＋x－2|??2?4?

2

2

＝

2

＝2

，

172当x＝时，dmin＝.

28

2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )

A.－C.－

????

1515? ，33?15?，0 3?

B．0，D.－?

?15? 3?

??15?，－1 3?

??y＝kx＋2，

解析：选D 由?22得(1－k2)x2－4kx－10＝0.

?x－y＝6?

设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?Δ＝16k－4?1－k?×?－10?＞0，

?4k则?x＋x＝＞0，

1－k－10?xx＝?1－k＞0，

2

2

1

2

212

21－k2≠0，

B．D.

解得－

15?15，－1?. ＜k＜－1.即k的取值范围是－3?3?

x2y2

3．已知A，B，P是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐

ab2

标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为( )

3

A.5 2

6 2

C.2

15 3

解析：选D 设A(x1，y1)，P(x2，y2)，

根据对称性，得B点坐标为(－x1，－y1)， y1－y2y1＋y2则kPA＝，kPB＝.

x1－x2x1＋x2

?因为A，P在双曲线上，所以?xy

?a－b＝1，

222222x2y2112－2＝1，ab

?y1＋y2??y1－y2?b22

两式相减，得kPA·kPB＝＝2＝，

?x1＋x2??x1－x2?a3a2＋b2515

所以e＝2＝，故e＝. a33

2

4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则点A的横坐标为( )

A．2 C．3

2

2

B．－2 D．－3

x2y2

解析：选D 16x＋25y＝400可化为＋＝1，

2516则椭圆的左焦点为F(－3,0)，

p?p，0，准线为x＝－， 又抛物线y2＝2px的焦点为??2?2p

所以＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．

2设A(x，y)，则由|AK|＝2|AF|得

(x－3)2＋y2＝2[(x＋3)2＋y2]，即x2＋18x＋9＋y2＝0， 又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3.

x2y2

5．(2018·温州十校联考)已知点P是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1是

ab双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是( )

A.2 C．2

B．3 D.5

a

解析：选D 设直线PF1：y＝(x＋c)，

ba2ab?b?则与渐近线y＝－ax的交点为M?－c，c?. 因为M是PF1的中点，

2a2ab

－c＋c，c?， 利用中点坐标公式，得P???

2

?b2－a2?24a2b2

因为点P在双曲线上，所以满足－22＝1，

a2c2cb整理得c4＝5a2c2，解得e＝5.

y2

6．已知双曲线x－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在

3

2

抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．

解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，

?3则?y

x－?3＝1，

22

22y212

x1－＝1，

1

两式相减，得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，

3显然x1≠x2.∴

y2－y1y2＋y1y0·＝3，即kMN·＝3，

x0x2－x1x2＋x1

∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1， m3m－，?， ∴y0＝－3x0.又∵y0＝x0＋m，∴P??44?m9－?， 代入抛物线方程得m2＝18×??4?16解得m＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－8

1

7．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，

4―→―→

C，D四点，则AB·DC＝________.

解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，

y＝1，??

联立?12解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，

y＝x，??4―→―→

因为B(－1,1)，C(1,1)，所以AB＝(1,0)，DC＝(－1,0)， ―→―→所以AB·DC＝－1. 答案：－1

8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的

纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．

解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a2－b2＝4， y2x2

所以可设椭圆方程为2＋2＝1，

b＋4by＝3x＋7，??2

联立?y x2

＋＝1，22??b＋4b

得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，

设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)， 由一元二次方程根与系数的关系得： 14?b2＋4?

y1＋y2＝＝2.

10b2＋4解得：b2＝8.所以a2＝12. x2y2

则椭圆方程为＋＝1.

812x2y2

答案：＋＝1

812

x22

9．(2018·东阳适应)已知椭圆2＋y＝1(a>1)．

a(1)若A(0,1)到焦点的距离为3，求椭圆的离心率．

(2)Rt△ABC以A(0,1)为直角顶点，边AB，AC与椭圆交于两点B，C.若△ABC面积的27

最大值为，求a的值．

8

c6

解：(1)由题可得a＝3，所以c＝2，所以e＝＝.

a3(2)不妨设AB斜率k＞0，

1

则AB：y＝kx＋1, AC：y＝－kx＋1， y＝kx＋1，??2由?x得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， 2

??a2＋y＝12a2k2a2k解得xB＝－，同理xC＝2，

1＋a2k2k＋a2k?1＋k2?14

S＝|AB||AC|＝2a·24

2ak＋a4k2＋k2＋a21

k＋k

1k＋k

＝2a4·＝2a4·， 2a1?22242?22

ak＋2＋a＋1a?k＋k?＋?a－1?k