2019 - 2020学年高中数学第1章不等关系与基本不等式11.1实数大小的比较1.2不等式的性质学案北师大版

[探究问题] 不等式性质的简单应用 11111

1．甲同学认为a＞b?＜，乙同学认为a＞b＞0?＜，丙同学认为a＞b，ab＞0?＜ababa1

b，请你思考一下，他们谁说得正确？

[提示] 甲说得不正确．当a>0，b<0时不成立；乙说得是正确的，但不全面，当0>a>b11

时也有<；丙说得非常正确．

ab2．根据60

[提示] 不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．

正确解法应是：

xyx－y＝x＋(－y)，

所以需先求出－y的取值范围；

x11

＝x×，所以需先求出的取值范围． yyy111∵28

33y2860x84

又60

33y28即20x<<3. 11y2

【例3】 设f(x)＝ax＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，在求f(－2)的取值范围时有如下解法：

??1≤f?－1?≤2，由?

?2≤f?1?≤4，?

3

??2≤a≤3，得?3

0≤b≤.??2

∴3≤f(－2)＝4a－2b≤12. 上述解法是否正确？为什么？

[精彩点拨] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，而a＋b与a－b中的a，b，不是独立的，是相互制约的．本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(－2)的范围扩

大．因此需要将f(－2)用a－b与a＋b整体表示．

[自主解答] 不正确． 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， 则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b.

??m＋n＝4，于是?

??m－n＝2，

??m＝3，

解得?

??n＝1.

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 而1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.

利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

3．若a>b>0，c2. ?a－c??b－d?[证明] ∵c－d>0， ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.(*) 由(*)式知(a－c)>(b－d)>0， ∴

112>2. ?b－d??a－c?

2

2

ee又∵e<0，∴2<2. ?b－d??a－c?即

2>2. ?a－c??b－d?

eeee

1．设a∈R，则下面式子正确的是( ) A．3a＞2a 1C.＜a

B．a＜2a D．3－2a＞1－2a

2

a[答案] D

11

2．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是( )

mnA．m＞0＞n C．m＜n＜0

B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0

1111n－m[解析] ∵＞?－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.

mnmnmn[答案] D

3．若6≤x≤13,2≤y≤7，则x－y的取值范围是________． [解析] ∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13， 所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11. [答案] [－1,11]

4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序号) 11baa＋b2

①＜； ②ab＞b； ③＞； ④＜1.

ababb112

[解析] ∵a＜b＜0，∴＞，①不成立；由b＜0，a＜b，∴ab＞b，②成立；又a＜bab＜0，∴0＜＜1，＞1，因此＞不成立；有②成立．

[答案] ②

baabbaaba＋ba＝＋1＜1不成立，即①，③，④不正确，只bb

5．已知一次函数f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．

??－1≤－a＋b≤2，[解] ∵?

??－2≤2a＋b≤3.

14

又∵f(3)＝3a＋b＝－(－a＋b)＋(2a＋b)，

331013

∴－≤f(3)≤.

33