2019 - 2020学年高中数学第1章不等关系与基本不等式11.1实数大小的比较1.2不等式的性质学案北师大版

1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质

学习目标：1.理解实数大小与实数运算间的关系，会用作差(商)法比较大小．(重点)2.理解并掌握不等式的性质．(重点、易错易混点)3.能用不等式的性质解决一些简单的问题．(难点)

教材整理1 实数大小的比较

阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．

1．实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．

2．两实数大小与运算间的关系

(1)a＞b?a－b＞0；a＜b?a－b＜0；a＝b?a－b＝0. (2)当a>0，b＞0时，＞1?a＞b，＜1?a＜b；＝1?a＝b.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若>1，则a>b. (2)?x∈R，x>2x.

(3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0. [解析] (1)× 因为b的正负不确定．

(2)× 因为x－2x＝x(x－2)，其正负随x的范围的变化而改变． (3)√ 因为a>b，a>c，所以2a>b＋c，

即3a>a＋b＋c＝0，所以a>0，又因为c

阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题． 性质1 性质2 性质3 性质4 对称性 传递性 可加性 推论 可乘性 22

abababab( ) ( ) ( )

a＞b?b＜a 如果a＞b，b＞c，那么a＞c 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc 推论1 推论2 推论3 推论4 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd 如果a＞b＞0，那么a＞b 如果a＞b＞0，那么a＞b(n为正整数) 11如果a＞b＞0，那么an＞bn(n为正整数)

填空(填不等号)：

(1)若a>b＋c，则a－b________c. 11

(2)若a>b>0，则________.

nn22ab(3)若a>b，cb>0,0 (2)< (3)> (4)>

acbd

【例1】 (1)已知x＞3，比较x＋3与3x＋x的大小； (2)若m＞0，试比较m与2的大小．

[精彩点拨] (1)只需考查两者差同0的大小关系；

mm32实数大小的比较 (2)注意到2＞0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质． [自主解答] (1)x＋3－3x－x ＝x(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)．

∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0， ∴x＋3＞3x＋x. (2)m＝??， 2?2?

3

2

2

3

2

mmm?m?m?m?mm当m＝2时，??＝1，此时m＝2，

?2?

m?m?当0＜m＜2时，0＜＜1，??＜1， 2?2?

mm

∴m＜2.

mm?m?mm当m＞2时，＞1，??＞1，∴m＞2.

2?2?

mm

比较大小的常用方法及步骤

1．求差法：a≥b?a－b≥0，a≤b?a－b≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论．

变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．

2．求商法：当a>0，b>0时，把比较a，b的大小转化为比较与1的大小关系，此即为作商比较法．

理论依据是不等式的性质：

若a>0，b>0，则≥1?a≥b，≤1?a≤b. 一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．

114

1．已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m与n的大小．

xyx＋y114

[解] m－n＝＋－ xyx＋y22

x＋y4?x＋y?－4xy?x－y?＝－＝＝，

xyx＋yxy?x＋y?xy?x＋y?

ababab∵x，y均为正数，

∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)≥0， ∴m－n≥0，即m≥n.

2

(1)若a>b，则acbc，则a>b； (3)若aab>b； (4)若a|b|； (5)若c>a>b>0，则

2

2

2

2

利用不等式性质判断命题的真假 【例2】 对于实数a，b，c判断下列命题的真假． ac－ac－b>b.

[精彩点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基

本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．

[自主解答] (1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．

(2)由ac>bc知c≠0，而c>0， ∴a>b，故该命题是真命题．

??a

??a<0??a

2

2

2

2

2

?a>ab；

2

?ab>b，

2

∴a>ab>b，故该命题是真命题．

(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题． (5)

a>b>0?－a<－b<0，??c>a>b>0

??0

??

?

11

?>>0，?abc－ac－b??c－a>c－b，故该命题是真命题． ?a>b>0?

1．判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否推出与结论一致的结论．

2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．

2．判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若a＞b，则ac＞bc；(2)若2＞2，则a＞b；

11

(3)若a＞b，ab≠0，则＜；(4)若a＞b，c＞d，则ac＞bd.

2

2

acbcab[解] (1)错误．当c＝0时不成立．

(2)正确．∵c≠0且c＞0，在2＞2两边同乘以c，∴a＞b. 11

(3)错误．a＞b?＜成立的条件是ab＞0.

2

2

acbc2

ab(4)错误．a＞b，c＞d?/ac＞bd，例如当a，b，c，d为负数时不成立.