山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练等比数列（含解析）

考点一 等比数列的判定与证明

1、设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3. 求证：数列{bn}是等比数列，并求an.

证明 由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立， 得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，

两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n， 所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3， 所以abn＋1n＋1＋3＝2(an＋3)，即

b＝an＋1＋3

＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列． nan＋3

由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3， 所以b1＝a1＋3＝6，即bn－1

n＝6·2.

故an－1

n＝6·2

－3＝3·2n－3.

考点二 等比数列基本量的求解

1、(2013·湖北卷)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在正整数m，使得1a＋1＋…＋1

a≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．1a2m解 (1)设等比数列{an}的公比为q，

33

则由已知可得???a1q＝125，

??

|a2

1q－a1q|＝10，

?解得?5?a1＝3，或?

1＝－5，

?

??q＝3

??a?

q＝－1.

故a5n－1n－1

n＝3·3或an＝－5·(－1).

(2)若a＝5n－1

13?1?n－1n3·3，则a＝n5??3??

，

则??1??a??

是首项为31

n5，公比为3的等比数列．

3?15??

1－??1?3??m???从而

??9a＝＝·??1?m?9n1－110??1－??3????<10

<1. 3

若an－1

n＝－5·(－1)

，则1a＝－1(－1)n－1

，

n5

1

?1?1

故??是首项为－，公比为－1的等比数列，

5?an?

从而

?1

1??－，m＝2k－k∈N*，＝?5an??0，m＝2k k∈N*，1<1.

故

?an综上，对任何正整数m，总有

?1

an<1.

111

故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．

a1a2an?1?

2、(1)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列??的前5项和为

?an?

________．

(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________. 解析 (1)显然公比q≠1，由题意可知

－q1－q3

6

?1?1－q1

＝，解得q＝2，则数列??是以1为首项，为1－q2?an?

?1?31

公比的等比数列，由求和公式可得数列??的前5项和T5＝. 16?an?

a1q·a1q＝1，??

(2)显然公比q≠1，由题意得?a1－q3

＝7，??1－qa1＝4，??

解得?1

q＝??2

a1

3

5

a1＝9，??

或?1

q＝－?3?

(舍去)，

∴S5＝

－q1－q?1?4?1－5??2?31＝＝. 141－2

3131

答案 (1) (2)

164

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3－2，n∈N，则 A．{an}是递增的等比数列

B．{an}是递增数列，但不是等比数列 C．{an}是递减的等比数列 D．{an}不是等比数列，也不单调 解析 ∵Sn＝3－2，∴Sn－1＝3

nn－1

n*

( )．

－2，

2

∴an＝Sn－Sn－1＝3－2－(3

nn－1

－2)＝2×3

n－1

(n≥2)，

当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，但a1＜a2＜a3＜…. 答案 B

7

4．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn.若S3＝，则S6等于

23163

A. B. C．63 22解析 S3＝答案 B

5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝

111A. B．－ C. 339解析 由题知q≠1，则S3＝答案 C

6．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为 11A．1 B．－ C．1或－

22

??a1q＝7，

解析 根据已知条件?2

?a1＋a1q＋a1q＝21.?

2

( )．

127

D. 2

6

a1

－21－2

3

71a1－2

＝7a1＝，所以a1＝.所以S6＝

221－263

＝63a1＝.

2

( )． 1D．－

9

－q1－q3

a1

124

＝a1q＋10a1，得q＝9，又a5＝a1q＝9，则a1＝. 9

( )． 1

D．－1或 2

得

1＋q＋q2

q2

12

＝3.整理得2q－q－1＝0，解得q＝1或－. 2

答案 C

7．实数项等比数列{an}的前n项的和为Sn，若

S1031

＝，则公比q等于________． S532

a1

－q1－q5－q1－q10

S10S10

解析 首先q≠1，因为若q＝1，则＝2，当q≠1时，＝

S5S5a1

31511

，q＝－，q＝－. 32322

1－q＝5＝1－q10

－q5

＋q5

5

1－q＝

1

答案 －

2

8．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.

解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q(1＋q)＝60，∴q＝2，∴a7＋a8＝a1q(1＋q)＝[a1(1＋

2

2

6

q)]·(q2)3＝30×8＝240.

3

答案 240

9．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________． 解析 由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2， 即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即答案 －2

10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N)，且a2＋a4＋a6＝9，则log1(a5＋a7＋a9)的值是

3

*

an＋2

＝－2. an＋1

( )．

1D. 5

1

A．－ B．－5 C．5

5

解析 由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3

3

*

an＋1an＋1

＝1，解得＝3，anan3

5

所以数列{an}是公比为3的等比数列．因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q，所以a5＋a7＋a9＝9×3＝3.所以log1(a5＋a7＋a9)＝log13＝－log33＝－5.

3

35

5

答案 B

11．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝( )． 312

A. B. C. D．2 223

解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，

322

∴a2(q＋q)＝3a2(q－1)，∴q＝或－1(舍去)．

2答案 A

12．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝______. 解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq＝5anq， 化简得2q－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2. 答案 2

考点三 等比数列性质的应用

1、(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )． A．7 B．5 C．－5 (2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若

?a4＋a7＝2，?

2

2

D．－7

S1031

＝，则公比q＝________. S532

解析 (1)由已知得?

??a5a6＝a4a7＝－8，

解得?

?a4＝4，???a7＝－2

或?

?a4＝－2，???a7＝4.

4