佛山市普通高中2012届高三教学质量检测（一）（理）

4．“关于x的不等式x?2ax?a?0的解集为R”是“0?a?1”

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知点P是抛物线x2?4y上的一个动点，则点P到点M(2,0)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的

最小值为A．2917 B．5 C．22 D．

228．对于非空集合A,B，定义运算：A?B?{x|x?A?B,且x?A?B}，

已知M?{x|a?x?b},N?{x|c?x?d}，其中a、b、c、d满足a?b?c?d，

ab?cd?0，则M?N?

A. (a,d)?(b,c) B.(c,a]?[b,d) C. (a,c]?[d,b) D.(c,a)?(d,b)

9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

合唱社 粤曲社 书法社

a 45 30 高一 15 10 20 高二

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a?_______________.

?0?x?2,?11．已知不等式组?x?y?2?0,所表示的平面区域的面积为4，则k的值为__________.

?kx?y?2?0?13．对任意实数a,b，函数F(a,b)?g(x)?x?1，那么函数G(x)?F?f(x),g(x)?的最大值等于 .

18．（本题满分13分）

1(a?b?|a?b|)，如果函数f(x)??x2?2x?3, 2佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命?（单位：月）服从正态分布

N(?,?2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. （1）求这种灯管的平均使用寿命?；

（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中

途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.

19．（本题满分12分）

已知圆C1:(x?4)2?y2?1，圆C2:x2?(y?2)2?1，动点P到圆C1,C2上点的距离的最小值相等. （1）求点P的轨迹方程；

（2）点P的轨迹上是否存在点Q，使得点Q到点A(?22,0)的距离减去点Q到点B(22,0)的距离的差为

4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由.

20．（本题满分14分）

设a?R,函数f(x)?lnx?ax.

(1) 若a?2，求曲线y?f(x)在P?1,?2?处的切线方程； (2) 若f(x)无零点,求实数a的取值范围；

(3) 若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证: x1?x2?e2.

21．（本题满分14分）

2设n?N，圆Cn：x2?y2?Rn(Rn?0)与y轴正半轴的交点为M，与曲线y?*1x的交点为N(,yn)，

n直线MN与x轴的交点为A(an,0). (1)用n表示Rn和an; (2)求证:an?an?1?2;

(3)设Sn?a1?a2?a3???an,Tn?1? 答案

1117S?2n3????,求证:?n?. 23n5Tn24、A；6、B；8、C

9．30 11．1 13． 3

18．（本题满分13分）

解：（1）∵??N(?,?2)，P(??12)?0.8，P(??24)?0.2， ∴P(??12)?0.2，显然P(??12)?P(??24) ?????3分 由正态分布密度函数的对称性可知，??12?24?18， 2即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； ???????5分 （2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1?0.8?0.2， ?????6分 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为?支，则??B(4,0.2)， ???10分 故至少两支灯管需要更换的概率P?1?P(??0)?P(??1)

01?1?C40.84?C40.83?0.21?113（写成?0.18也可以）. ???????13分 625 19．（本题满分13分）

解：（1）设动点P的坐标为(x,y)，

圆C1的圆心C1坐标为(4,0)，圆C2的圆心C2坐标为(0,2)， ???????2分 因为动点P到圆C1,C2上的点距离最小值相等，所以|PC1|?|PC2|, ????3分

22即(x?4)?y?x2?(y?2)2，化简得y?2x?3，???????4分

因此点P的轨迹方程是y?2x?3； ????????5分 （2）假设这样的Q点存在，

因为Q点到A(?22,0)点的距离减去Q点到B(22,0)点的距离的差为4， 所以Q点在以A(?22,0)和B(22,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，

x2y2??1(x?2)上， ????????9分 即Q点在曲线

44?y?2x?3?又Q点在直线l:y?2x?3上， Q点的坐标是方程组?x2y2的解，???11分

?1???44消元得3x?12x?13?0，??12?4?3?13?0，方程组无解， 所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q. ???????13分 20．（本题满分14分）

解：方法一在区间?0,???上,f?(x)?

2211?ax?a?. ???1分 xx

（1）当a?2时，f?(1)?1?2??1，则切线方程为y?(?2)??(x?1)，即x?y?1?0 ????3分 （2）①若a?0,则f?(x)?0,f(x)是区间?0,???上的增函数,

Qf(1)??a?0,f(ea)?a?aea?a(1?ea)?0,

?f(1)?f(ea)?0,函数f(x)在区间?0,???有唯一零点. ????6分

②若a?0,f(x)?lnx有唯一零点x?1. ????7分 ③若a?0,令f?(x)?0得: x?1. a在区间(0,)上, f?(x)?0,函数f(x)是增函数; 在区间(,??)上, f?(x)?0,函数f(x)是减函数; 故在区间?0,???上, f(x)的极大值为f()?ln由f()?0,即?lna?1?0,解得:a?1a1a1a1?1??lna?1. a1a1. e故所求实数a的取值范围是(,??). ????9分 方法二、函数f(x)无零点?方程lnx?ax即a?令g(x)?1elnx在?0,???上无实数解 ??4分 xlnx1?lnx，则g?(x)? xx21?lnx?0得：x?e ????6分 由g?(x)?0即2x在区间(0,e)上, g?(x)?0,函数g(x)是增函数; 在区间(e,??)上, g?(x)?0,函数g(x)是减函数; 故在区间?0,???上, g(x)的极大值为g(e)?1. ????7分 e注意到x?(0,1)时，g(x)????,0?；x?1时g(1)?0；x??1,???时，g(x)??0,?

e?1???lnx1在?0,???上无实数解?a?.

ex1即所求实数a的取值范围是(,??). ????9分

e故方程a?[注:解法二只说明了g(x)的值域是???,?,但并没有证明.]

e??1?? (3) 设x1?x2?0,Qf(x1)?0,f(x2)?0,?lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0