十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形

∵0

∴=2,即>2.

6.(2018·全国1·文T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b+c-a=8,则△ABC的 面积为 . 【答案】

2

2

2

【解析】∵bsin C+csin B=4asin Bsin C, ∴sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0,∴sin A=.

由余弦定理得cos A=>0,

∴cos A=,bc=,

∴S△ABC=bcsin A=.

7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积 是 ,cos∠BDC= .

【解析】依题意作出图形,如图所示,则sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=

,cos ∠ABC=.

所以S△BDC=BC·BD·sin ∠DBC=×2×2×.

因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-,所以CD=.由余弦定理,得cos

∠BDC=.

8.(2017·全国3·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=【答案】75° 【解析】由正弦定理得

,

,c=3,则A= .

即sin B=.

因为b

所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.

9.(2017·全国2·文T 16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 【答案】

【解析】由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=.又因

为B∈(0,π),所以B=.

10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则

b=___________. 【答案】

【解析】因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin

B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.

又因为,所以b=.

11.(2016·北京·文T 13)在△ABC中,A=,a=c,则= .

【答案】1

【解析】由正弦定理知

,即sin C=

,又a>c,可得C=,

∴B=π-,∴b=c,即=1.

12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 . 【解析】如图.

作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE中,由正弦定理得,EB=

.

延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°. 在△BCF中,由正弦定理得,BF=所以AB的取值范围为(

, ).

,A的角平分线AD=

,则AC=___________.

13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=【答案】

【解析】如图所示,在△ABD中,由正弦定理,得

,即

,

所以sin∠ADB=,可得∠ADB=45°,

则∠BAD=∠DAC=15°. 所以∠ACB=30°,∠BAC=30°. 所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=由余弦定理,得 AC=

.

=.

14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.

【答案】100

【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°. 在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°, 由

,

得BC==300(m).

在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD =300

=100

(m).

15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC的面积为【答案】7

,且AB=5,AC=8,则BC等于 .

【解析】由S△ABC=|AB|·|AC|·sin A=×5×8·sin A=10,得sin A=.

∵△ABC为锐角三角形,∴A=60°.