小学奥数教程-乘法原理之染色问题.教师版 (139) 全国通用(含答案)

7-2-3乘法原理之染色问题

教学目标

1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；

2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系． 3.培养学生准确分解步骤的解题能力；

乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．

知识要点

一、乘法原理概念引入

老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？

我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．

二、乘法原理的定义

完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．

结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．

三、乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分N个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘

四、乘法原理的考题类型

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1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题； 2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法； 3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法； 5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．

例题精讲

【例 1】 地图上有A，B，C，D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜

色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

ACBD

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 A有3种颜色可选；

当B，C取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有3?2?2?12种； 当B，C取不同的颜色时，B有2种颜色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选(与A相同)．根据乘法原理，不同的涂法有3?2?1?1?6种． 综上，根据加法原理，共有12?6?18种不同的涂法．

【答案】18

【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都

必须要用，问有多少种染色方法？

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 第一步，首先对A进行染色一共有4种方法，然后对B、C进行染色，如果B、C取相同的颜色，有

三种方式，D剩下3种方式，如果B、C取不同颜色，有3?2?6种方法，D剩下2种方法，对该图

（3?3?3?2?2）?84种方法． 的染色方法一共有4?【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题． 【答案】84

【例 2】 在右图的每个区域内涂上A、B、C、D四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共

有__________种不同的染色方法．

125

36

47

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有4?3?2?24种染色方

法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．

【答案】24

【例 3】 如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，

有多少种不同染色方法?

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ABCD

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：

第一步：给A染色，有5种颜色可选．

第二步：给B染色，由于B不能与A同色，所以B有4种颜色可选． 第三步：给C染色，由于C不能与A、B同色，所以C有3种颜色可选．

第四步：给D染色，由于D不能与B、C同色，但可以与A同色，所以D有3种颜色可选． 根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5?4?3?3?180种不同的染色方法．

【答案】180

【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A，B，C，D，E，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，

要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

ABDCE

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 第一步，给A国上色，可以任选颜色，有四种选择；

第二步，给B国上色，B国不能使用A国的颜色，有三种选择；

第三步，给C国上色，C国与B，A两国相邻，所以不能使用A，B国的颜色，只有两种选择；

第四步，给D国上色，D国与B，C两国相邻，因此也只有两种选择；

第五步，给E国上色，E国与C，D两国相邻，有两种选择． 共有4?3?2?2?2?96种着色方法． 【答案】96

【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相

等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，

我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4?3?2?2?2?2?2?2?2?1536种．

【答案】1536

【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？

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ABC

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，

由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3?2?1?6

【答案】6

【例 5】 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染

的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中

的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4?3?2?2?2?96种方法．

【讨论】如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？

答案：也是4?3?2?2?2?96种方法．

如果染色步骤为C-A-D-B-E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有

4?3?(1?2?2?2?1?2)?96种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．

【答案】96

【巩固】 某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，

要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G (如左下图)．

ABCGDEF

为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?

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