2018年湖北仙桃市中考数学试卷(含解析 )

在△ECD中，ED2＝CE2＋CD2，

∴BD2＋CD2＝2AD2． 6分

应用：如图②，作AE⊥AD于点A，交DC的延长线于点E，连接BE． 7分 ∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∠EAD＝90°， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC，AE＝AD． ∴ED＝2AD．

由“探索”的证明可知，

BE＝CD，BE⊥CD． 8分 在Rt△BED中，BD2＝BE2＋DE2．

∴2AD2＝BD2－CD2． 9分 ∵BD＝9，CD＝3， ∴2AD2＝92－32＝72． ∴AD＝6（负值舍去）． 10分

【知识点】旋转，三角形全等，探索与归纳

26．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，26，12分）抛物线y??227x?x?1与x轴交于点A，B（点3325）上方的部分沿直线l向下24A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y?t（t?翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象． （1）点A，B，D的坐标分别为，，；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围； （3）如图②，当t?0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）点A，B的坐标可以令y＝0，解一元二次方程求出，点D的坐标利用公式可求；（2）点E可

能在边界上也可能在边界内，∴要分情况讨论；（3）点Q可能在原抛物线上也可能在翻折下来的部分抛物线上，∴要分情况讨论．要证明点Q在圆上，只需证明QA与QB垂直即可． 【解题过程】（1）令y??公式可得D（

11227，B（3，0）．根据抛物线顶点x?x?1＝0，解得x1＝，x1＝3．∴A（，0）

2233725，）． 3分 424 （2）如图①，

作直线DE，交x轴于点M，交BC于点N． ∵直线BC经过B（3，0），C（0，－1）两点，

1x－1． 37 又∵抛物线对称轴DE为：x＝，

475 ∴点N的坐标为（，－）． 4分

412 ∴直线BC的解析式为：y＝

讨论：①当点D与点M重合时，此时点E落在x轴上的点M处， ∴t＝

112525DM＝×＝． 5分 22244825535丨＋丨－丨＝． 241224 ②当点D与点N重合时，此时点E落在BC边上的点N处． ∵DN＝DM＋MN＝丨 ∴

135DN＝＞MN． 24813555 ∴t＝DN－MN＝－＝．

2481216525 ∴t的取值范围是：≤t≤． 7分

1648

（3）存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P．

如图②，设以CQ为直径的⊙G与x轴相切于点P，连接PC，PG，PQ． 并作QH⊥x轴于点H，则GC＝GP＝GQ，且GP⊥x轴． ∴OC∥PG∥HQ．∴OP＝PH． ∵CQ为直径，∴∠CPQ＝90°． ∴∠OPC＝∠HQP． ∵tan∠OPC＝

OCHPOP，tan∠HQP＝HQ．

∴

OCOP＝HPHQ． 即OC·HQ＝OP·HP． 讨论：①当点Q在抛物线y??23x2?73x?1上时， 依题意有x≤

12或x＞3． 设点Q的坐标为（x，?23x2?73x?1）．

则OH＝|x|，HQ＝|?2713x2?3x?1|，OP＝PH＝2|x|．

∵OC＝1，∴|?27112713x2?3x?1|＝2|x|·2|x|，即|?3x2?3x?1|＝4x2．

∵点Q位于x轴下方，∴?2x2?7x?1≤0．∴?2x271333?3x?1＝－4x2． 解得x14?2341＝

5，x14?2342＝5． ②当点Q在抛物线y＝

23x2?73x?1上时，依题意有12＜x≤3．

同理可得：|23x2?73x?1|＝14x2．

∵点Q位于x轴下方，∴2713x2?3x?1＝－4x2．

解得x63＝11，x4＝2． 9分 10分 11分

∴满足条件的x的值有x1＝ ∵OP＝

14?23414?2346，x2＝，x3＝，x4＝2． 551111OH＝|x|， 22 ∴符合条件的点P的坐标有4个，即： P1（

7?347?343，0），P2（，0），P3（，0），P4（1，0）． 12分 5511

【知识点】二次函数压轴题，存在性问题