2012年广西高考理科数学冲刺点睛 第四章：三角函数

2012年广西高考理科数学冲刺点睛

云帆高考命题研究组 编制

第四章：三角函数

考点一：三角函数的定义

(10年全国卷Ⅰ理2)记cos(?80?)?k，那么tan100??（）

kk1?k21?k2A． B． - C． D． -kk1?k21?k2

5（07全国卷Ⅰ理1）?是第四象限角，tan???，则sin??（）

121155A． B．? C． D．?551313

（2011年课标全国卷）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ

＝（）

4334A.－ B.－ C. D.

5555

【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，

a21232

∴cosθ＝2＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.

5a555

22

cosθ－sinθ1－tan2θ2a3

解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝22＝2＝－. a5cosθ＋sinθ1＋tanθ

（2011年江西卷）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝25－，则y＝________.

5

25yy25【解析】r＝x2＋y2＝16＋y2，∵sinθ＝－，∴sinθ＝＝＝－，解得y＝－8.

5r516＋y2【解题技巧点睛】以三角函数的定义为载体，求三角函数的值.题目的鲜明特点是给出角的终边上的点的坐标，此时我们要联想到三角函数的定义求解所需三角函数值.

考点二：三角恒等变换 (2011年全国卷理14)已知a∈(

?5，?)，sinα=，则tan2α= 25sin2α

（2011年福建卷）若tanα＝3，则2的值等于（）

cosα

A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】D

π?1πββππ3

＋α＝，cos?－?＝，则cos?α＋?＝（） （2011年浙江卷）若0<α<，－<β<0，cos??4?3?42?3?2?22

33536A.B．－C.D．－ 3399

【答案】C

（2012届河北正定中学第二次月考）若sin???,a??? A．?355?????,0?,则cos?????= （）

4??2??72 10D．

2 10B．

2 10C．?72 10cos2?的值为 ???sin????4??【答案】C

（2012届江西省重点中学第一次联考）已知sin??cos??1???，且???0,?，则2?2?1

【答案】?142

（广西2012届百所高中联考）已知sinx??5?3?,x?(,)，则tan(x?)=。

4522【答案】-3

【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:

（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如

??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，????2???等.

222（2）三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如

???2，

?????????????cos?????cos??sin?????sin??cos?，tan??????1?tan?tan???tan??tan?.(4)三角函数次数的

1?cos2?1?cos2?222降升：降幂公式有cos??，sin??与升幂公式有1?cos2??2cos?，

221?cos2??2sin2?.

(5)式子结构的转化：对角、函数名、式子结构化同.

2222(6)常值变换主要指“1”的变换：1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx?tan??sin???等.

42（7）辅助角公式：asinx?bcosx?由

a2?b2sin?x???(其中?角所在的象限由a、b的符号确定，?角的值

tan??b确定)在求最值、化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角?为特殊角的情况即可.实际上是两角和与差a的三角函数公式的逆用.如

sinx?cosx?2sin(x?),sinx?3cosx?2sin(x?),3sinx?cosx?2sin(x?)等.

436

考点三三角函数的性质

（05年全国卷Ⅱ理/文１）函数f(x)?sinx?cosx的最小正周期是（）

A．

?????B．C．?D．2? 42π

ω＞0，|φ|＜?的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，（2011年课标全国卷）设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)?2??则（）

π

0，?单调递减 A．f(x)在??2?π

0，?单调递增 C．f(x)在??2?【答案】A

π3π?

B．f(x)在??4，4?单调递减

π3π?

D．f(x)在??4，4?单调递增

?π??对一切x∈R恒成立，则 （2011年安徽卷）设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤?f??6??

11π??f?7π??

kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． ④f(x)的单调递增区间是?63??⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．

以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 【答案】①③

2

【解析】f(x)＝asin2x＋bcos2x＝a2＋b2sin(2x＋φ)?sinφ＝

??

ba?，cosφ＝?，因为对一切x∈R时，a2＋b2a2＋b2?

?π??恒成立，所以sin?π＋φ?＝±f(x)≤?f??6???3?1.

ππ5π

2x＋?， 故φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z).故f(x)＝a2＋b2sin?6??66

π2x＋?. 或f(x)＝－a2＋b2sin?6??

11π?22?11π?＝－a2＋b2sin2π＝0，故①正确； 对于①，f?＝a＋bsin2π＝0，或f?12??12?

?7π??＝?a2＋b2sin?7π＋π??＝a2＋b2?sin47π?＝a2＋b2sin17π， 对于②，?f??10????56???30?30

?f?π??＝?a2＋b2sin?2π＋π??＝a2＋b2?sin17π? ??5????56???30?

17π?7π??＝?f?π??，故②错误； ＝a2＋b2sin.所以?f??10????5??30

ππ

2x＋?，或f(x)＝－a2＋b2sin?2x＋?知其既不是奇函数也不是偶函数，故对于③，由解析式f(x)＝a2＋b2sin?6?6???

③正确；

ππ2π

2x＋?时，?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)是f(x)的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要对于④，当f(x)＝a2＋b2sin?6?63???

使经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|>a2＋b2，此时平方得b2>a2＋b2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交．故⑤错．

【解题技巧点睛】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查.在众多的性质中，三角函数的图象的对称性是一个高考的热点.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象.

考点四三角函数的图像

（09全国卷Ⅰ理/文10）如果函数y?3cos(2x??)的图像关于点(A．

4?,0)中心对称，那么?的最小值为（） 3???? B． C． D． 6432π??（08全国卷Ⅰ理8）为得到函数y?cos?2x??的图像，只需将函数y?sin2x的图像（）

3??5π5πA．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

12125π5πC．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

6622x（07全国卷Ⅰ理12）函数f(x)?cosx?2cos的一个单调增区间是（）

2??2?????????????A．?，? B．?，? C．?0，? D．??，??33??62??3??66?

ππ

ω＞0，|φ|＜?，y＝f(x)的部分图象则f??＝（） （2011年辽宁卷）已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)?2???24?

A．2＋3 B.3 C.【答案】 B

3

D．2－3 3

3

π?3π－π?＝π，ω＝2.又由于2×π＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ＋π(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝π.【解析】由图象知＝2×?88?2ω82424πππππ

2x＋?.又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan?2x＋?.所以f??＝tan?2×＋?＝3，故选这时f(x)＝Atan?4?4????24??244?

B.

π

（2011年天津卷）已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝

2

时，f(x)取得最大值，则（）

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 【答案】A

2π11ππ

【解析】∵＝6π，∴ω＝.又∵×＋φ＝2kπ＋，k∈Z且－π<φ≤π，

ω3322

1π?ππ1ππ5πx＋，∴当k＝0时，φ＝，f(x)＝2sin?要使f(x)递增，须有2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解之得6kπ－≤x≤6kπ?33?323322

5ππ5π

－π，?上递增． ＋，k∈Z，当k＝0时，－π≤x≤，∴f(x)在??22?222

ππ

2x＋?＋cos?2x＋?，则（） （2011年课标全国卷）设函数f(x)＝sin?4?4???

ππ

0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称 A．y＝f(x)在??2?4ππ

0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称 B．y＝f(x)在??2?2ππ

0，?单调递减，其图像关于直线x＝对称 C．y＝f(x)在??2?4

ππ

0，?单调递减，其图像关于直线x＝对称 D．y＝f(x)在??2?2

【答案】D

πππ

2x＋＋?＝2sin?2x＋?＝2cos2x， 【解析】f(x)＝2sin?44?2???ππ

0，?内单调递减，又f??＝2cosπ＝－2，是最小值． 所以y＝f(x)在??2??2?π

所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．

2（广西2012届百所高中联考）将函数f(x)?的图象，则g()的值为

?26sin2x?cos2x的图象如右平移个单位后得到函数g(x)422 C．2 D．2

（）

?4 A．

6 2B．-1

【答案】A

【解题技巧点睛】

1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．

2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，

ππ2x＋?的图象向左平移个如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin?4??12

ππ5π

x＋?＋?＝sin2x＋的图象． 单位时，得到的是函数y＝sin?2???12?4?12

3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．

考点五与三角相关的最值问题

（2011年课标全国卷）在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________． 【答案】27

【解析】因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，

4