专题十一概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 十年高考数学（理科）真题题型分类汇编

专题十一 概率与统计

第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差

2019年

1.（2019天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

2．（2019全国I理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,2.假定3,8)表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，

pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,,7)，其中a?P(X??1)，b?P(X?0)，

c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．

(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,,7)为等比数列；

(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 3.（2019北京理17）

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支

付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机

抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额 支付方式 仅使用A 仅使用B ?0,1000? 18人 10人 ?1000,2000? 9人 14人 大于2000 3人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，

P(X?4)?P(X?6)，则p=

A．0．7

B．0．6

C．0．4

D．0．3

2．(2018浙江)设0?p?1，随机变量?的分布列是

? P 则当p在(0,1)内增大时， A．D(?)减小

0 1 2 1?p 21 2p 2

B．D(?)增大

C．D(?)先减小后增大

D．D(?)先增大后减小

3．（2017浙江）已知随机变量?i满足P(?i?1)?pi，P(?i?0)?1?pi，i=1，2．

若0?p1?p2?1，则 2

B．E(?1)D(?2) D．E(?1)>E(?2)，D(?1)>D(?2)

A．E(?1)E(?2)，D(?1)

4．（2014浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球

?m?3,n?3?，从乙盒中随机抽取i?i?1,2?个球放入甲盒中．

（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为?i?i?1,2?；

（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi?i?1,2?．则 A．p1?p2,E??1??E??2? B．p1?p2,E??1??E??2? C．p1?p2,E??1??E??2? D．p1?p2,E??1??E??2? 二、填空题

5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回

地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX= ．

6．(2016年四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次

试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 . 7．（2014浙江）随机变量?的取值为0,1,2，若P???0??三、解答题

8．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 1，E????1，则D????__． 5好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概

率；

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“?k?1”表示第k类电影得到人们喜欢，“?k?0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差D?1，D?2，D?3，D?4，D?5，D?6的大小关系．

9．（2018全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之

前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0?p?1)，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0． (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，

求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作

检验？

10．(2018天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分

层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ．．（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求

事件A发生的概率．

11．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，

售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需