湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)

10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)

8π16πA.＋15 B.＋3 338π2316π23C.＋ D.＋ 3393

【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l＝

23?

（5）2＋?＝22，圆锥的高h＝

?2?

2

（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r＝l2－h2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余21811816

π＋3?×2＝π＋部分为S＝πr2＋r2sin 120°＝π＋3，故几何体的体积为：V＝Sh＝×??32333?3923

，故选D. 3

11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)

1111A. B. C. D. 9632

【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时

?1≤x≤4，间分别为x，y，则?所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，

?1≤y≤3，?3≤x≤4，1则?所对应的正方形区域的面积为1，所以P＝，选B.

6?2≤y≤3，

?d（x）－a，x<1，

12．设函数d(x)与函数y＝log2x关于直线y＝x对称．已知f(x)＝?若

?4（x2－3ax＋2a2），x≥1，

函数f(x)恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是(A)

1?13

，1∪[2，＋∞) B.?，1?∪?，＋∞? A.??2??4??2?13，＋∞? D.?－∞，? C.?2??4??

【解析】因为函数d(x)与函数y＝log2x关于直线y＝x对称，所以d(x)＝2x；设g(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1，h(x)＝2x－a，x<1，因为f(x)恰有2个不同的零点，又因为h(x)至多有一个零点，故：

?a≥1，①若g(x)有两个零点，h(x)没有零点，则?得a≥2

?h（1）＝2－a≤0，

??a<1，?－a<0，1

②若g(x)和h(x)各有1个零点，则?且?得≤a<1.

??2a≥1?h（1）＝2－a>0，2

1?

综上，a∈??2，1?∪[2，＋∞)．故答案选A.

选择题答题卡

题 号 答 案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 D 11 B 12 A 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

13．已知圆C1：(x－a)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x＋5＝0外切，则a的值为__0或6__． 【解析】圆C1：(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a，0)，半径为1，圆C2：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为

(3，0)，半径为2，两圆外切，所以|a－3|＝3，∴a＝0，6，故a的值为0或6.

314．如果复数z满足关系式z＋－＝2＋i，那么z等于__＋i__． z4||

－2222【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，－z＝a＋b，所以a＋bi＋a＋b＝2＋i， ||

3??a＝4，?a＋a2＋b2＝2，3所以得：?解得：?所以z＝＋i.

4?b＝1，??b＝1

a＋b

15．已知2a＝5b＝10，则＝__1__．

ab

a＋b1111

【解析】由已知，a＝log210＝，b＝log510＝.所以＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.

lg 2lg 5abab16．已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞04－1，?__． 时f(x)＞1.若f(4)＝5，则不等式f(3x2－x－2)<3的解集为__?3??

【解析】设x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞1.所以f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)－1>0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是增函数．因为f(4)＝5，即f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.所以原44

－1，?. 不等式化为f(3x2－x－2)

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)

π

已知函数f(x)＝asin x＋bcos x，a≠0，x∈R，f(x)的最大值是2，且在x＝处的切线与直线x－y

6＝0平行．

(1)求a、b的值；

π1

(2)先将f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位得到

26π10ππ

函数g(x)的图象，已知g?α＋?＝，α∈?，?，求cos 2α的值．

4?13??62?【解析】(1)f′(x)＝acos x－bsin x，1分

a2＋b2＝2???a＝3，

由已知有：?，解之得：?4分 ππ

?b＝1.??acos 6－bsin 6＝1π

(2)由(1)有f(x)＝3sin x＋cos x＝2sin?x＋?，6分

?6?1

因为将f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，

2

ππ

再将其向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2sin?2x－?，8分

66??π2ππ10πππ5

由g?α＋?＝，α∈?，?得sin?2α＋?＝，且2α＋∈?，π?，

3?34?133?13??62???π12

则cos?2α＋?＝－，10分

133??

ππππππ

cos 2α＝cos??2α＋?－?＝cos?2α＋?cos ＋sin?2α＋?sin 333?3?3?3?????

1215353－12＝－·＋·＝.12分

13213226

18．(本题满分12分)

如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别是A′B和B′C′的中点。

(1)证明：MN∥平面AA′C′C；

(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论． 【解析】(1)取A′B′的中点E，连接ME，NE.

因为点M，N分别是A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′， 又A′C′面AA′C′C，AA′面AA′C′C， 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，

所以平面MNE∥平面AA′C′C，因为MN平面MNE， 所以MN∥平面AA′C′C.6分

(2)连接BN，设A′A＝a，则AB＝λa，由题意知BC＝2λa，NC＝BN＝

1

a2＋λ2a2，

2

∵三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C， ∵AB＝AC，点N是B′C′的中点，∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N.

1

a2＋λ2a2?＝2λ2a2λ＝2，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，∴CN2＋BN2＝BC2，2? 2??∴当λ＝2时，CN⊥平面A′MN.12分 19．(本题满分12分)

某地1～10岁男童年龄xi(单位：岁)与身高的中位数yi(单位：cm)(i＝1，2，…，10)如下表所示：