常微分方程模拟试题(6)及参考解答

故原方程的通解为 y?C1?C2e 17．解 方程组的特征方程为 A??E?3x?15xe （10分） 102??1?0

34??即 ??6??5?0 特征根为

?1?5，?2?1 （2分）

2?1?5对应的解为

?x1??a1?5t ?????e

?y1??b1?其中a1,b1是?1?5对应的特征向量的分量，满足 ?1??a1??0??2?5??b???0?

34?5???1???可解出 a1?1,b1?3． （5分） 同样，可解出?2?1对应的特征向量的分量为 a2?1,b2??1． （8分） 故原方程组的通解为

?e5t??et??x? ???C1?5t??C2?t?． （10分）

y???3e???e? 五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．证明 由已知条件可知，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理

条件，又存在常数解 y?k?,分）

对平面内任一点(x0,y0)，若y0?k?，则过该点的解是y?k?，显然是在(??,??)上有定义． （6分） 若y0?k?,则y0?(k?,(k?1)?),记过该点的解为y?y(x)，那么一方面解

k?0,?1,?2,?． （4

y?y(x)可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域

{(x,y)???x???,k??y?(k ?1)?}内y(x)不能上、下穿过解y?(k?1)?和

y?k?，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为

(??,??)． （10分）

19．证明 由已知条件，该方程的任一解都在区间(a,b)上存在． （2分） 若y1(x),y2(x)在x0处取极值，则必有

?(x0)?y2?(x0)?0 （4分） y1

成立，于是由解y1(x),y2(x)构成的朗斯基行列式W(x)在x0处的值为

y1(x0) W(x0)??(x0)y1y2(x0)y1(x0)=?(x0)y20y2(x0)= 0 （8分） 0 故y1(x),y2(x)不能构成该方程组的基本解组，因为构成基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式W(x)?0，x?(a,b)． （10分）