常微分方程模拟试题(6)及参考解答

常微分方程模拟试题（6）及参考解答

题号 得分

得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 一 二 三 四 五 总分 dy?ysinx?ex的任一解的最大存在区间必定是 ． dxdy?sinx?cosy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2．方程dx 1．方程

3．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 4．方程

dy?x2tany的所有常数解是 ． dx 5．方程y???4y??4y?0的基本解组是 ． 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．

（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 7. 方程y???y?0的任一非零解在xoy平面上（ ）与x轴横截相交． （A）可以 （B）不可以 （C）只能在x?0处可以 （D）只能在x? 8．方程y???2处可以

y2?x2?2（ ）奇解．

（A）有一个 （B）有无数个 （C）只有两个 （D）无

2 9．方程y??1?y过点(0,0)的解y?sinx，这个解的存在区间是（ ）．

（A）(0,??) （B）(??,0) （C）[???,] （D）(??,??)

22 10．向量函数组Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的（ ）条件是在区间I上它们的朗斯基行列式W(x)?0．

（A）充分 （B）充分必要 （C）必要非充分 （D）必要

得分 评卷人 三、计算题（每小题６分，本题共30分）

求下列方程的通解或通积分：

dy?x(1?y2) dxdyyy??()2 12.

dxxxdy?3y?e2x 13. dx 11. y 14．(2xy?cosx)dx?(x2?1)dy?0 15．yy???(y?)2?0

得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．求方程y???3y??e5x的通解． 17．求下列方程组的通解．

?dx?2x?y??dt ?

?dy?3x?4y??dt

得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．设?(x)在区间(??,??)上连续．试证明方程

dy??(x)siny dx的所有解的存在区间必为(??,??)．

19．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，已知p(x),q(x)在(a,b)上连续．试证明：若存在x0?(a,b)使方程的两个解y1(x)，y2(x)同在x0处取极值，则y1(x)，y2(x)不能是方程的基本解组．

常微分方程模拟试题（6）参考答案及评分标准

（供参考） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．(??,??) 2．xoy平面

3．n

4．y?k?，k?0,?1,?2,? 5．e?2x,xe?2x

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．B 7．A 8．D 9．C 10．D 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 11．解 当y?1时，分离变量得

y1?y2dy?xdx 等式两端积分得

?y1?y2dy??xdx?C1

12ln1?y2?12x2?C1 1?y2?Ce?x2,C??e?2C1

方程的通积分为

y2?1?Ce?x2 12．解 令y?xu，则y??u?xdudx，代入原方程，得 u?xdudx?u?u2，xdudx??u2 当u?0时，分离变量，再积分，得 ??duu2??dxx?C

1u?lnx?C，u?1lnx?C 即通积分为： y?xlnx?C 3分）6分）2分）4分）6分） （ （ （ （ （

13．解 齐次方程的通解为

y?Ce?3x （2分） 令非齐次方程的特解为 y?C(x)e?3x 代入原方程，确定出 C(x)?15xe?C （4分） 5 原方程的通解为 y?Ce?3x+15e2x 14．解 由于

?M?y?2x??N?x，所以原方程是全微分方程． 取(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为

?xy0(2xy?cosx)dx??0dy?C 即 x2y?sinx?y?C 15．解 原方程为恰当导数方程，可改写为 (yy?)??0

即 yy??C 积分得通积分

y2?C1x?C2 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．解 对应的齐次方程的特征方程为 ?2?3??0， 特征根为

?1?0，?2?3

故齐次方程的通解为 y?C3x1?C2e 因为??5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y5x1(x)?Ae 代入原方程，得 25Ae5x?15Ae5x?e5x

即 A?110， 6分） 2分） 4分） 6分） 3分） 6分） 4分） 6分） （ （（

（ （ （ （ （