十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题14坐标系与参数方程文(含解析)

（2）设曲线l1的极坐标方程为???6(??0)，曲线l2的极坐标方程为???3(??0)，求三条曲线C，l1，

l2所围成图形的面积.

【答案】（1）??4sin(??【解析】

（1）由条件得圆C的直角坐标方程为x?3?3)； （2）3?2?. 3??2??y?1??4，

2得x2?y2?23x?2y?0，将x??cos?，y??sin?代入， 得?2?23?cos??2?sin??0， 即??23cos??2sin?，则??4sin????????， 3?所以圆C的极坐标方程为??4sin????????. 3?（2）由条件知曲线l1和l2是过原点O的两条射线，设l1和l2分别与圆C交于异于点O的点A和B， 将???6代入圆C的极坐标方程，得A?4,?????，所以OA?4； 6?将??????B23,代入圆C的极坐标方程，得??，所以OB?23. 3?3?由（1）得圆C的圆心为C所以?COB?所以S?COB?????3,1，其极坐标为C?2,?，故射线l1经过圆心C，

?6???3??6??6，?ACB?2?COB??3.

11??OC?OB?sin?COB??OA?OB?sin?3， 2461?22?扇形CAB的面积为SCAB???2?,

2332?故三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积为S?COB?SCAB?3?.

3??x?1?cost2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数）．

y?3?sint??（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）若射线???与C有两个不同的交点M、N，求OM?ON的取值范围．

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【答案】（Ⅰ）?2?2(cos??3sin?)??3?0（Ⅱ）(23,4] 【解析】

解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为(x?1)2?(y?3)2?1，即x2?y2?2x?23y?3?0， 又x?y??，x??cos?，y??sin?，

222所以曲线C的极坐标方程为?2?2(cos??3sin?)??3?0．

（Ⅱ）联立射线???与曲线C，得?2?2(cos??3sin?)??3?0，设M(?1,?)，N(?2,?) ，

???|OM|?|ON|??1??2?2(cos??3sin?)?4sin????，

6??又圆心C(1,3)的极坐标为?2,?????????，所以的取值范围是， ?362??所以

?3????6???2??3???，?sin?????1，23?4sin?????4，

6?3?26??所以OM?ON的取值范围为(23,4]．

?x?cos?,xoy3．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为?（?为

y?sin??24?x??2?t,??13参数），直线l的参数方程为?（t为参数），点P的坐标为??2,0?．

10?y?t?13?（1）若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且PM?2MQ，求动点M的轨迹方程． （2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求PA?PB的值．

2?4?【答案】（1）?x???y2 =（2）3

3?9?【解析】

（1）设Q?cos?,sin??，M?x,y?， 则由PM?2MQ，得?x?2,y??2?cos??x,sin??y?，

2 10

即??3x?2?3cos?,

?3y?2sin?.22?4?消去?，得?x???y2 =，此即为点M的轨迹方程. 3?9?5?x?2?， 125512,cos??， 设?为直线l的倾斜角，则tan?=，sin?=121313（2）曲线C的普通方程为x?y?1，直线l的普通方程y=2212?x??2?t?,??13则直线l的参数方程可设为?（t?为参数），

5?y?t??13?代入曲线C的普通方程，得t??2248t?+3=0， 13276?48?由于??????12??0， ?13169???， 故可设点A,B对应的参数为t1?，t2??t1?t2??3． 则PA?PB?t?1?t2?310t?x?1??104．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正

?y?3?10t?10?半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??8sin??6cos?． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）已知P?1,3?，C1与C2的交点为A,B，求PA?PB的值． 【答案】（1）?x?3???y?4??25；（2）20 【解析】

2（1）由??8sin??6cos?，得??8?sin??6?cos?，

22∴x?y?6x?8y?0，即?x?3???y?4??25.

2222 11

?310?31010?10?（2）设A??1?10t1,3?10t1??，B??1?10t2,3?10t2??

?????310t?x?1??1022把?代入?x?3???y?4??25， ?y?3?10t?10?得t2?10t?20?0，则t1,t2是该方程的两个实数根， ∴t1t2??20，故PA?PB?t1t2?20．

?x?1?tcos?xOy5．在直角坐标系中，直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正

?y?tsin?半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2sin?，直线l与x轴交于点P，与曲线C交于两点M，N．

（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求

1PM2?21PN22的取值范围．

【答案】(1) x?y?2y?0 (2) (2,6] 【解析】

解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ， 把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0． ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；

?x?1?tcos?（2）将直线l的参数方程?代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sinα）t+1＝0．

?y?tsin?由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0， 且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．

t12?t22(t1?t2)2?2t1t211??22??2?4sin2?． ∴

|PM|2|PN|2t1t2t12t22 sin2α＜0∴2?4sin2??(2,6] 即

11?的取值范围是（2，6]．

|PM|2|PN|2 12