十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题14坐标系与参数方程文(含解析)

专题14坐标系与参数方程

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历年高考真题汇编

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坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＝0．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

（t为参数）．以

ρsinθ+11

【解答】解：（1）由（t为参数），得，

两式平方相加，得

（x≠﹣1），

1

∴C的直角坐标方程为由2ρcosθ

（x≠﹣1），

．

；

平行的直线方程为

，得16x+4mx+m﹣12＝0．

2

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ρsinθ+11＝0，得

即直线l的直角坐标方程为得（2）设与直线联立

2

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，

由△＝16m﹣64（m﹣12）＝0，得m＝±4．

∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．

2．【2018年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ+2ρcosθ﹣3＝0． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ+2ρcosθ﹣3＝0． 转换为直角坐标方程为：x+y+2x﹣3＝0， 转换为标准式为：（x+1）+y＝4．

（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．

2

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2

2

2

故：，或

解得：k或0，

当k＝0时，不符合条件，故舍去，

同理解得：k或0

经检验，直线与曲线C2没有公共点．

2

故C1的方程为：．

，（θ为参数），直线

3．【2017年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

l的参数方程为 ，（t为参数）．

（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为

，求a．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：

y2＝1；

a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；

联立方程，

解得或，

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（（2）l的参数方程

，）．

（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为：

d①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，

|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17 解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意． ②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时

|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17， 解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．

，φ满足tanφ，且的d的最大值为．

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4．【2016年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ． （Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（t为参数，a＞0）．在

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a． 【解答】解：（Ⅰ）由

，得

，两式平方相加得，x+（y﹣1）＝a．

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∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x+y﹣2y+1﹣a＝0．①

由x+y＝ρ，y＝ρsinθ，得ρ﹣2ρsinθ+1﹣a＝0； （Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ＝4ρcosθ， ∴x+y＝4x，② 即（x﹣2）+y＝4．

由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，

∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a＝0，即为C3 ， ∴1﹣a＝0， ∴a＝1（a＞0）．

5．【2015年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）+（y﹣2）＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

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（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ＝﹣2，

故C2：（x﹣1）+（y﹣2）＝1的极坐标方程为： （ρcosθ﹣1）+（ρsinθ﹣2）＝1， 化简可得ρ﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．

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（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ

（ρ∈R）代入

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