2019届福建省高三模拟考试数学(理)试题(解析版)

通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20～9：40记作区间

，9:40～10:00记作

，10:00～10:20记作

，10:20～10:40记作

.

比方：10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记为9:20～10:00之间通过的车辆数，求的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布

，其中可用这600辆车在9:20～10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似

代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46～10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若

，则

，

【答案】（1）10点04分；（2）详见解析；（3）819辆.

【解析】（1）用每组中点值乘以频率，然后相加，得到平均值.（2）先用分层抽样的知识计算出

量车中位于

的车辆数，然后利用超几何分布的知识计算出分布列，

，计算出方差和标准差，利用正态分布的

得到所求车

，

.

并求得数学期望.（3）由（1）可知

对称性，计算出在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆的概率，乘以辆数. 【详解】

解：（1）这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

，即10点04分。

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过

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的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即

，所以的可能取值为0，1，2，3，4。

所以，，，

，

所以的分布列为 所以

（3）由（1）可得

，

0 1 2 ，

3 4 .

所以

.

，

估计在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是由

，得

通过的车辆数，

所以，估计在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆数为【点睛】

，

（辆）.

本小题主要考查根据频率分布直方图估计平均数和方差，考查超几何分布概率计算以及数学期望的计算，考查正态分布计算，属于中档题.

20．已知椭圆：（1）求椭圆的方程.

过点，且它的焦距是短轴长的倍.

（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

时，

，

的面积为定

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【答案】（1）；（2）存在这样的常数，此时.

【解析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合

的方程为

和

和

列方程组，两点的坐标，

①.联

解方程组求得椭圆的标准方程.（2）设直线将

两点两点坐标代入

，化简得到

立直线三角形【详解】

的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离公式和弦长公式求得的面积的表达式，结合①解得和的值.

解：（1）因为椭圆：过点，

所以，

倍，所以

，从而

.

又因为该椭圆的焦距是短轴长的

联立方程组，解得，所以，，则由

.

的方程为，

.①

（2）设存在这样的常数，使

，点

，点

的面积为定值.设直线

知

，所以

联立方程组，消去得.

所以，

点到直线的距离，

的面积将②③代入①得

.④ ，

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化简得，⑤

将⑤代入④得

，

要使上式为定值，只需，

即需，从而，此时，此时

.

，，

所以存在这样的常数【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦的弦长的求法，考查与椭圆有关的三角形面积的求解，考查方程的思想，综合性较强，属于难题. 21．已知函数（1）试讨论函数（2）若对任意的数的取值范围.

【答案】（1）详见解析；（2）

.

，对分类讨论，

图象的交点个数来求解出来.（2）

对

恒成

的零点个数；

，关于的不等式

恒成立，求实

，

的导函数为

.

【解析】（1）先求函数的定义域，然后求函数的导数将

的零点问题，转化为直线

与函数

构造函数立，先利用范围内，【详解】 解：（1）由题意得（i）当（ii）当

时，时，

与函数

的定义域为

，将原问题转化为

确定的一个范围，然后利用

的最大值不大于零，由此求得的取值范围.

的二阶导数验证在这个

，.

，此时没有零点；

，

图象的交点个数，可知直线

与函数

的零点个数等于直线

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