【附加15套高考模拟试卷】广东省江门市普通高中2020届高三调研测试数学(理)试题含答案

C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1(,1)13．3

914．2

(?15．

210310,)55

y2x??1316．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）3（2）18?122 【解析】 【分析】

（Ⅰ）营养液有效则需满足y?4，由分段函数，对x讨论，解不等式即可得到结论；

（Ⅱ）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为?x?3?天，且

0?x?2；设设y1为第一次投放营养液的浓度， y2为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的

浓度；；可得y?y1?y2?4?2x?b?式，即可得到b的最小值． 【详解】

（1）营养液有效则需满足y?4，

3?x?4在?0,2?上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等3?x0?x?22?x?5则{3?x或{，

2?5?x??42??43?x即为1?x?2或2?x?3， 解得1?x?3，

所以营养液有效时间最多可达3天； （2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，

则此时第一次投放营养液的持续时间为?x?3?天，且0?x?2； 设y1为第一次投放营养液的浓度， y2为第二次投放营养液的浓度， ∴y1?2??5??x?3????4?2x，

y为水中的营养液的浓度；

y2?b?3?x， 3?x3?x?4在?0,2?上恒成立， 3?x由题意得y?y1?y2?4?2x?b?∴b?2x?3?x在?0,2?上恒成立， 3?x令t?3?x,t?3,5，则b??2?t?????18???18， t?又?2?t???18?18?18?18?2?2t??18?122， ?t?t18，即t?32时等号成立； t当且仅当t?因为32??3,5?

所以b的最小值为18?122. 【点睛】

本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．

18．（1）见解析（2）【解析】 【分析】

（1）设AC的中点为O，连接BO，PO，由边长关系得PO?OB，从而可得PO?平面ABC，即可证明平面PAC?平面ABC；

（2）由（1）问可知PO?平面ABC，所以以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，利用向量法求出平面MBC和平面PBC的法向量，再利用二面角的公式即可得到

533 33二面角P?BC?M的余弦值。 【详解】

（1）设AC的中点为O，连接BO，PO，

由题意，得PA?PB?PC?2，PO?1，AO?BO?CO?1．

因为在?PAC中，PA?PC，O为AC的中点，所以PO?AC， 因为在?POB中，PO?1，OB?1，PB?2，

PO2?OB2?PB2，所以PO?OB

因为ACIOB?O，AC，OB?平面ABC，所以PO?平面ABC，

PO?平面PAC，所以平面PAC?平面ABC

（2）由（1）问可知PO?平面ABC，所以PO?OB，PO?OC，OB?AC，于是以OC，OB，

OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，

??则O?0,0,0?，C?1,0,0?，B?0,1,0?，A??1,0,0?，P?0,0,1?，M??,0,?，

22??uuuur?3uuuruuur1?BC??1,?1,0?，PC??1,0,?1?，MC??,0,??

2??211rm设平面MBC的法向量为??x1,y1,z1?，则

rruuu??x1?y1?0?m?BC?0ur由?ruuu得：?．令x1?1，得y1?1，z1?3，即

3x?z?0?11??m?MC?0rm??1,1,3?．

rruuu?r?n?BC?0n?x,y,zr设平面PBC的法向量为得： ?222?，由?ruuu??n?PC?0

?x2?y2?0ry?1n??1,1,1? ，令，得，，即x?1z?1?x?z?0?22rrn?m5533rr533cosn,m?rr??．由图可知，二面角P?BC?M的余弦值为． n?m333333【点睛】

本题考查面面垂直的证明，以及空间向量法在二面角中的应用，，考查学生推理论证能力，运算求解能力，

属于中档题。 19．（1）【解析】 【分析】

2（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析 2uuuuruuur（1）利用向量法求二面角P?EC?D的余弦值；（2）设PM??PC(0剟?1)，利用向量法得到

uuuuruuurcos?DM,PE??【详解】

|6??3|6?10?2?10??4?6，解方程即得解. 8设O是AD中点，?PAD为正三角形， 则PO?AD，平面PAD?平面ABCD，

PO?面ABCD，又∵AD?AE?2，

?DAB?60?，所以VADE为正三角形，OE?AD，

建立如图所示空间直角坐标系O?xyz，则P0,0,3,E0,3,0C?2,3,0,D??1,0,0?，

??????uuuruuuruuur于是PC?(?2,3,?3),PE?(0,3,?3)，DP?(1,0,3)，

ur(1)设平面PEC的法向量为n1?(x,y,z)，

uruuururuuuruur由PC?n1?0,PE?n2?0得一个法向量为n1?(0,1,1)，

uur平面EDC的一个法向量为n2?(0,0,1)，

设二面角P?EC?D的平面角为?，则

ur12ru |cos?|?cos?n1,n2???22由图知为?锐角，所以，二面角P?EC?D的余弦值为2. 2uuuuruuuuruuur(2) 设PM??PC(0剟?1)，则PM?(?2?,3?,?3?)，

uuuuruuuruuuuruuurDM?DP?PM?(1?2?,3?,3?3?),PE?(0,3,?3)，