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浙江省2003年7月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题
3分，共15分) 1. 设R是实数集，σ(a)=??a?1 a?0?a a?0则σ是R的( )。
A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R的变换 2. 下列法则，哪个不是有理数集Q的代数运算( )。 A. a?b=
12(a+b) B. a?b=a2-2ab+b2
12C. a?b=10a+b D. a?b=
〔a(a+1)+b(b+1)〕
3. 设集合G={a,b},在G中规定代数运算如下表，则G关于哪个代数运算可作成群。( ) A.
B. C. D.
4. 设M2(R)=??????a???cb??d??O1 a b O2 a b a a a a a b b b b b a b O3 a b O4 a b a a b a b a b b a b a b ??? a,b,c,d∈R，R为实数域按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是
( )。
A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的变换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环 5. 在非零有理数乘群Q*中，阶为2的元有( )。 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无限个
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二、填空题(每小题3分，共27分) 1.剩余类加群Z12有_________个生成元.
2.6阶循环群有_________个子群.
3.5次对称群S5中，(12543)2(13542)-1=_________. 4.模8的剩余类环Z8的子环有_________个. 5.剩余类环Zn是域?n是_________. 6.整数环Z的理想有_________个. 7.唯一分解环与欧氏环的关系是_________. 8.设Q是有理数域，S={
2i},则Q(S)=________.
9.1?3在有理数域Q上的极小多项式是_________.
三、本题共3大题，第1、2大题各10分，第3大题14分，共34分
1.设A={a,b,c}对代数运算来说作成一个群，且a是单位元，试作出A的乘法表. 2.找出模18的剩余类加群Z18的所有子群.
3.试分别写出剩余类环Z5和Z6中的全部零因子与可逆元. 四、证明题(每题8分，共24分)
1. 设G是2p阶群(p是素数)，证明G的每个真子群都是循环群.
2. 设偶数环R=2Z,N={4r|r∈Z},证明N是R的一个理想，R/N是怎样的环?N是否与(4)相等?R/(4)是不是域? 3.设Z〔i〕={a+bi|a,b∈Z},试确定Z〔i〕/(1+i)含有哪些元素?Z〔i〕/(1+i)是否是域?为什么? 百度文库：专注、专心、专一为您服务！
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