2019年高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和学案文北师大版20180412437

。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第二节 等差数列及其前n项和

[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

(对应学生用书第69页)

[基础知识填充]

1．等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． (2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝

a＋b2

. 2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)D． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)， (2)等差数列的前n项和公式

na1＋annn－ Sn＝＝na1＋2

2

3．等差数列的有关性质

d(其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项)．

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am＋an＝ap＋aq.

(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系

1

d?d? Sn＝n2＋?a1－?n.

2

?2?

数列{an}是等差数列?Sn＝An＋Bn(A，B为常数)． [知识拓展]

1．等差数列前n项和的最值

在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．

2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列??也是等差数列．

?n??Sn?

2

anS2n－1

. bnT2n－1

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋an＋2.

( )

(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( ) A．－1 C．2

B．1 D．－2

*

D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．]

3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 C．9

A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝B．7 D．11

a1＋a5

2

＝5a3＝5.]

4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 C．98

B．99 D．97

C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d， 9

∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.

2

2

??a1＋4d＝3，

又∵a10＝8，∴?

?a1＋9d＝8，?

??a1＝－1，

∴?

?d＝1.?

∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C． 法二：∵{an}是等差数列，

9

∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.

2

在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C．]

5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.

【导学号：00090161】

16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}， 则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n. 42

由an＝6n≤100，即n≤16＝16，

63 则在100以内有16个能被6整除的数．]

(对应学生用书第70页)

＝4S4，则a10＝( ) 17

A．

2 C．10

等差数列的基本运算 (1)(2018·郑州模拟)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8

19

B．

2D．12

(2)(2018·昆明模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( )

【导学号：00090162】

A．9 C．11

(1)B (2)B [(1)∵公差为1， 8×

∴S8＝8a1＋

8－1

×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2

B．10 D．15

1

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，

2119

∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.

22

3

－??S11＝11a1＋2 (2)设等差数列{an}的公差为d，依题意?

??a4＝a1＋3d＝－12，

??a1＝－33，

解得?

??d＝7，

d＝22，

∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]

[规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．

2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．

[变式训练1] (1)(2018·娄底模拟)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是( ) A．2 C．4

B．3 D．5

*

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.

(1)B (2)－72 [(1)∵数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N)的等差数列，∴an＝1＋(n－1)d，

∵81是该数列中的一项，∴81＝1＋(n－1)d， 80

∴n＝＋1，

*

d ∵d，n∈N，∴d是80的因数，故d不可能是3.故选B． (2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

*

a12＝a1＋11d＝－8，??

由已知，得?9×8

Sd＝－9，9＝9a1＋?2?

??a1＝3，

解得?

?d＝－1.?

16×15 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]

2

等差数列的判定与证明 311*

已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N)．

5an－1an－1 (1)求证：数列{bn}是等差数列． (2)求数列{an}中的通项公式an.

4