江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 不等式 第3课时 不等式证明教学案

第3课时 不等式证明（一）

基础过关 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．

?a?b?0?a?b(1)作差比较法，它的依据是：? a?b?0?a?b ??a?b?0?a?b?它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．

(2) 作商比较法，它的依据是：若a>0，b>0，则

?????????a?1?a?bba?1?a?b ba?1?a?bb它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．

2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．

3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立． 典型例题 例1. 已知a?0,b?0，求证：证法1：＝＝＝

ab?baabab(a?b)(a?b)2abab?ba?a?b

?(a?b)

(a)3?(b)3?(a?b)ab

(a?b)[(a)2?2ab?(b)2]

∵a?b>0，ab>0，(a?b)2?0 ∴ 即

abab??babaa?(a?b)?0 ?a?b ?ba?(a)3?(b)3(a?b)ab?a?b?abab证法2：ba?b

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＝1＋

(a?b)2ab?1

∴

ab?ba?a?b

故原命题成立，证毕．

变式训练1：已知a、b、x、y∈R+

且11a＞b，x＞y. 求证：

xx?a＞yy?b． 解：证法一：(作差比较法) ∵ xx?a－yy?b＝bx?ay（x?a）（y?b）， 又

1a＞1+

b且a、b∈R， ∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.

∴bx?ay（x?a）（y?b）＞0，即xx?a＞yy?b. 证法二：(分析法) ∵x、y、a、b∈R+

，∴要证

xyx?a＞y?b， 只需证明x(y+b)＞y(x+a)，即证xb＞ya. 由

1a＞1b＞0，∴b＞a＞0. 又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立. 例2. 已知a、b∈R+

，求证：

(a?b)(a?b?1)?22(ab?ba)

证明：∵a?b?2ab，因此要证明原不等式成立，则只要证a?b?1?2(a?b)由于a?b?1?2(a?b)

?(a?22)2?(b?22)2?0 所以a?b?1?2(a?b)

从而原不等式成立．

变式训练2：已知a、b、c?R，求证：a2?b2?c2?4?ab?3b?2c 证明：左边－右边

＝a2?b2?c2?4?ab?3b?2c

?14(4a2?4b2?4c2?16?4ab?12b?8c) ?14[(2a?b)2?3(b?2)2?4(c?1)2]?0 ∴ a2?b2?c2?4?ab?3b?2c

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例3. 已知△ABC的外接圆半径R＝1，S?ABC?t?111??．求证：t?s abc1212cabc ?2R4R1，令s?a?b?c，a、c是三角形的三边，b、4证明：S?ABC?absinC?ab?又∵ R＝1，S?ABC?∴ s?a?b?c?1 ∴ abc?1 4111 ??bccaab111111???bccaab?1?1?1?t ???abc222∴ s?t 但t?s的条件是a?b?c?1，此时S?ABC?∴ t?s

3与已知矛盾． 4变式训练3：若a,b,c为△ABC的三条边，且S?a2?b2?c2,p?ab?bc?ac，则（ ） A．S?2p

B． p?S?2p C．S?p D．p?S?2p

1答案:D．解析：S?p?a2?b2?c2?(ab?bc?ac)?[(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2]?0,?S?p，

2又∵|a?b|?c,|b?c|?a,|a?c|?b,?a2?2ab?b2?c2,b2?2bc?c2?a2,a2?2ac?c2?b2 ∴a?b?c?2(ab?bc?ac),?S?2p。

例4. 设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的两个根x1、x2满足0?x1?x2?(1) 当x∈(0，x1)时，证明：x

(2) 设函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称，证明：x0<

x1． 22221． a证明：(1)由于x1、x2是方程f(x)?x?0的两个根，则f(x)?x?a(x?x1)(x?x2) 当x?(0,x1)时，有0?x?x1?x2

∴ x?x1?0,x?x2?0 又 a?0 ∴ f(x)?x?0 即f(x)?x 又由f(x)?a(x?x1)(x?x2)?x 得f(x)?x1?a(x?x1)(x?x2)?x?x1 ?(x?x1)(1?ax?ax2) ∵ 0?x?x1?x2?1 又 a?0 a∴ x?x1?0，1?ax?ax2?1?ax2?0 ∴ f(x)?x1?0 即f(x)?x1 综上所述，x?f(x)?x1．

(2) ∵ f(x)?a(x?x1)(x?x2)?x

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?ax2?(ax1?ax2?1)x?ax1x2

∴ x0?ax1?ax2?1ax1x1 ??2a2a2变式训练4：设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)＞0，f (1)＞0， 求证：(1)a＞0且-2＜

a＜-1； b(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

证明：（1）因为f(0)?0,f(1)?0，所以c?0,3a?2b?c?0. 由条件a?b?c?0，消去b，得a?c?0；

由条件a?b?c?0，消去c，得a?b?0，2a?b?0. 故?2?b??1. a2b3ac?b2,)， （2）抛物线f(x)?3ax?2bx?c的顶点坐标为(?3a3a在?2?b11b2??1的两边乘以?，得???. a333a3ba2?c2?ac?0, 又因为f(0)?0,f(1)?0,而f(?)??3a3a所以方程f(x)?0在区间(0,?bb)与(?,1)内分别有一实根。 3a3a故方程f(x)?0在(0,1)内有两个实根.

归纳小结 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．

2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．

3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．

4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．

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