(江苏专版)2018年高考数学二轮复习 6个解答题综合仿真练(三)

6个解答题综合仿真练(三)

1．已知向量m＝(3cos x，－1)，n＝(sin x，cosx)． π

(1)当x＝时，求m·n的值；

3

31?π?(2)若x∈?0，?，且m·n＝－，求cos 2x的值．

4?32?π?3??31?

解：(1)当x＝时，m＝?，－1?，n＝?，?，

3?2??24?311

所以m·n＝－＝.

442

(2)m·n＝3cos xsin x－cosx＝若m·n＝

2

2

π?1311?sin 2x－cos 2x－＝sin?2x－?－， 6?2222?

π?13131?－，则sin?2x－?－＝－，

6?23232?

π?3?即sin?2x－?＝，

6?3?

πππ?π?因为x∈?0，?，所以－≤2x－≤， 4?663?π?6?所以cos?2x－?＝， 6?3?

π?π?π?π?ππ63????则cos 2x＝cos??2x－?＋?＝cos?2x－?×cos－sin?2x－?sin＝×－

6?6?6?6?6632????3132－3

×＝. 326

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.

(1)求证：AB∥EF；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF. 证明：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又因为AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC.

又因为AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF.

(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD.

又AF?平面PAD，所以AB⊥AF. 又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.

3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到

F所需时间为T.

(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域； (2)求时间T最短时cos θ的值．

解：(1)如图，过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，

AE11OF＝＝，EF＝1＋，AE＝θ，所以T(θ)＝＋sin θsin θsin θ5vOGEFθ11?π3π?＝＋＋，θ∈?，?.

4?6v5v6vsin θ6v?4

θ11?π3π?(2)由(1)知，T(θ)＝＋＋，θ∈?，?，

4?5v6vsin θ6v?41cos θ6sin θ－5cos θ

T′(θ)＝－＝ 22

5v6vsinθ30vsin θ＝－

θ＋

2

30vsin θ

θ－

，

2

2?π3π?记cos θ0＝，θ0∈?，?，

4?3?4

则T(θ)，T′(θ)随θ的变化情况如表所示：

θ ?π，θ0? ?4???－ θ0 0 极小值 ?θ0，3π? ?4???＋ T′(θ) T(θ) 2故当cos θ＝时，时间T最短．

3

x2y2

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋2＝8b1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求

AT·BT的值； MN2

―→2―→

(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP＝TM，求直线l的斜率k.

5

x2y2

解：(1)因为椭圆C：＋2＝1经过点(b,2e)，

8bb24e2

所以＋2＝1.

8bc2c2b2c2

因为e＝2＝，所以＋2＝1，

a882b2

b28－b2

又a＝b＋c，＋2＝1，

82b2

2

2

解得b＝4或b＝8(舍去)． 所以椭圆C的方程为＋＝1.

84(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．

22

x2y2

y＝kx－，??22

联立直线l与椭圆方程?xy＋＝1，??84

4k2k－8

所以x1＋x2＝2，x1x2＝2.

2k＋12k＋1

2

2

消去y，得(2k＋1)x－4kx＋2k－8＝0，

2222

因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，

y＝kx，??22

联立直线MN与椭圆方程?xy＋＝1，??84

因为MN∥l，所以

8222

消去y得(2k＋1)x＝8，解得x＝2.

2k＋1

AT·BT＝MN2

－x1x2－xM－xN2

，

73222

因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝2，(xM－xN)＝4x＝2.

2k＋12k＋1

2

AT·BT72k＋17所以＝2×＝. MN22k＋13232

(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)， ―→―→

从而AP＝(－x1，－k－y1)，TM＝(x2－1，y2)， 2―→2―→

∵AP＝TM，∴－x1＝(x2－1)，

5522

即x1＋x2＝，①

55

4k由(2)知x1＋x2＝2，②

2k＋1

－4k＋216k－2

联立①②得x1＝，x2＝. 2

k＋k2＋

2

2

2

2k－8

又x1x2＝2，

2k＋1∴50k－83k－34＝0， 1722

解得k＝2或k＝－(舍去)．

50又因为k＞0，所以k＝2.

5．定义：从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列．

1111

(1)求数列1，，，，的等比子列；

2345

(2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1. ①试给出一个{an}，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)； ②若{an}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．

解：(1)显然从数列中抽取四项或五项时，不存在等比子列，当抽取三项时，设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k(1≤k≤3，k∈N)，

当k＝2时，

1111①设，，成等比数列，则nn＋1mn＋

2

*

4

2

2

111

＝×，即m＝n＋＋2,

nmn11*

当且仅当n＝1时，m∈N，此时m＝4，所求等比子数列为1，，；

241111111*;

②设，，成等比数列，则2＝×，即m＝n＋1＋－2?N

mnn＋1nn＋1mn＋111111111

当k＝3时，数列1，，；，，；，，均不成等比数列；

2323434511

当k＝1时，显然数列1，，不成等比数列．

3511

综上，所求等比子数列为1，，. 24

(2)①形如：a1，－a1，a1，－a1，a1，－a1，…(a1≠0，q＝－1)均存在无穷项， 等差子数列： a1，a1，a1，… 或－a1，－a1，－a1. ②设{ank}(k∈N，nk∈N)为{an}的等差子数列，公差为d， 当|q|>1时，|q|>1，取nk>1＋log|q|

|a1故|ank＋1－ank|＝|a1qnk＋1－1－a1qnk－1| ＝|a1||q|nk－1·|qnk＋1－nk－1| ≥|a1||q|nk－1(|q|－1)>|d|， 这与|ank＋1－ank|＝|d|矛盾，故舍去．

n*

*

|d|q|－

，从而|q|nk－1>

|a1

|d|q|－

，