高一数学春季尖子 班讲义第2讲 等差数列深入 教师版 尖子班

bn?bn?1?11??an?4an?1?4an?11111????，

168??4an?1?44(an?1?4)an?1?44an?1b1?11?1，故{bn}是首项为1，公差为的等差数列． a1?44

?x?y?1?的函数f?x?满足：对于任意x，y???1，1?都有f?x??f?y??f?【拓展】定义域为??1，?，

1?xy??1?2n若an?，n?N*，求证：?f?an??是等差数列． n1?2?1?2n?11?2n??n?1n?an?1?an?1?21?2【解析】 f?an?1??f?an??f???f?n?1n1?aa?1?1?2?1?2nn?1????1?2n?11?2n???1???f???

?3?????1?所以，数列?f?an??是以f?a1?为首项，f???为公差的等差数列．

?3?

111b?ca?ca?b已知，，成等差数列，问是否也是等差数列，如果是，给出证明； ，，abcabc如果不是，给出反例．

b?ca?ca?b111【追问】若已知成等差数列，问，，是否也是等差数列． ，，abcabc【解析】 是．证明如下：

112a?c22ac由已知得：??，故．① ??b?acbacba?cb?ca?b(b?c)c?(a?b)aa2?c2?b(a?c)于是．② ???acacac2aca2?c2??(a?c)b?ca?ba?c2(a?c)?(a?c)a?c??2????0， 将①②代入得：acbac2acb?ca?ba?cb?ca?ca?b即，即也是等差数列． ??2?，，acbabc【追问】

b?ca?ca?bb?ca?ca?b由成等差数列知：，，?1，?1，?1也是等差数列，

abcabca?b?ca?b?ca?b?c111即是等差数列，当a?b?c?0时，有，，为等差数列． ，，abcabc当a?b?c?0时，没有这个结论，如a?b??1，c?2即为反例． 【例8】

这里用到了数列的一个简单性质，即若{an}为等差数列，则{?an?b}（?，b为常数）为等差数列，这是后面性质⑹的一个推论，在{bn}为常数列时，即为此性质．

（2011北大夏令营）

已知sinx，siny，sinz为递增等差数列．求证：cosx，cosy，cosz不是等差数列．

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【解析】 假设cosx，cosy，cosz是等差数列，即2cosy?cosx?cosz ①

又由已知得2siny?sinx?sinz ②

①与②两边分别平方后相加得：4cos2y?4sin2y?(cosx?cosz)2?(sinx?sinz)2， 即4?2?2cosxcosz?2sinxsinz?2?2cos(x?z)，即cos(x?z)?1．

故x?z?2kπ，k?Z，从而sinx?sinz，与sinx，siny，sinz为递增等差数列矛盾． 故cosx，cosy，cosz不是等差数列．

实战演练

【演练1】记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?1，S4?20，则S6?（ ） 2A．16 B．24 C．36 D．48

【解析】 D；

【演练2】等差数列?an?的前n项和记为Sn，若a2?a4?a15?3，则S13? ．

【解析】 13

【演练3】一个只有有限项的等差数列，它的前五项和为34，最后五项的和为146，所有项的和为234，

则它的第七项等于______． 【解析】 18；

【演练4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27 【解析】 B；

【演练5】已知数列?an?满足a1?a4a?22，且对任意n?N?，都有n?n．

an?1an?1?25?1?求证：数列??为等差数列，并写出{an}的通项公式．

?an?anan?1?2an?4anan?1?2an?1，即2an?2an?1?3anan?1，所以【解析】

?1?53所以数列??是以为首项，公差为的等差数列．

22?an?1533n?22故??(n?1)??，故an?． an2223n?2113??， an?1an2

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【演练6】已知数列?an?的前n项和Sn?n2?2n，bn?Sn?n2?2n，a1?S1??1． 【解析】

a2?a4?L?a2n，证明：数列?bn?是等差数列．

n当n≥2时，an?Sn?Sn?1?n2?2n?(n?1)2?2(n?1)?2n?3，a1满足上式即an?2n?3． ∵an?1?an?2(n?1)?3?2n?3?2，

∴数列?an?是首项为?1，公差为2的等差数列． ∴a2?a4?L?a2n?即bn?n(a2?a2n)n(1?4n?3)??n(2n?1)， 22n(2n?1)?2n?1． n∴bn?1?bn?2(n?1)?1?2n?1?2．

a又b1?2?1，∴?bn?是以1为首项，2为公差的等差数列．

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大千世界

（2010江西理22）证明以下命题：

⑴对任一正整数a，都存在整数b，c(b?c)，使得a2，b2，c2成等差数列．

bn2，cn2成等差数⑵存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，列．

【解析】 ⑴ 考虑到结果要证a2?c2?2b2；类似勾股数进行拼凑．

52，72满足等差数列，只需取b?5a，c?7a，对一切正考虑到结果特征，取特殊值12，整数a均能成立．

⑵ 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．

2222222，bn，cn?an?cn?bn证明：当an成等差数列，则bn，

分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn)

选取关于n的一个多项式，4n(n2?1)作两种途径的分解 4n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)?4n(n2?1)

?an?n2?2n?1?(n≤4)，由第一问结论得，等差数列成立， 对比目标式，构造?bn?n2?1?2?cn?n?2n?1考察三角形边长关系，可构成三角形的三边． 下面证明互不相似．

m2?2m?1m2?1m2?2m?1n，任取正整数m，若△m，则三边对应成比例2， ??△n相似：

n?2n?1n2?1n2?2n?1m?1m?1由比例的性质得：??m?n，与约定不同的值矛盾，故互不相似．

n?1n?124

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