高一数学春季尖子 班讲义第2讲 等差数列深入 教师版 尖子班

第2讲

等差数列深入

满分晋级

数列4级 等比数列深入

数列3级 等差数列深入

数列2级 等比数列初步

新课标剖析

当前形势

内容

高考 要求

等差数列的概念 等差数列的通项公式与前n项和公式

等差数列在近五年北京卷（理）考查5～13分

要求层次 A

B √

C √

具体要求

利用定义计算基本量，并能判断是否为等差数列 熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，并能利用其知识解决相关问题

北京 高考 解读

2009年 第20题13分

2011年（新课标） 第20题13分

2012年（新课标） 第10题5分

2013年（新课标） 第20题13分

<教师备案>我们在暑期预习时学习了数列的概念，等差数列的基本量：包括a1，d，n，an，Sn，以及

等差数列的简单性质．同步时数列分成四讲，这一讲学习等差数列的判定与其它性质．建议等差数列的判定讲1小时，等差数列的性质讲2小时．另外，因为寒假讲了一点数列的性质，所以春季会延续寒假先讲数列的性质，再讲数列的判定

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知识切片

寒假知识回顾

<教师备案>本块主要回顾等差数列的基本量．

通项的主要公式：⑴an?a1??n?1?d；⑵an?Sn?Sn?1?n≥2?． 前n项和Sn的公式：⑴Sn?n?a1?an?2；⑵Sn?na1?n?n?1?2d．

1．⑴ 已知数列?an?是一个等差数列，且a2??3，a5?9，则数列?an?的通项an?________． ⑵ 已知数列?an?的通项公式为an?3?2n，则它的公差为_________． ⑶ 等差数列?2，1，4，L，100的项数是______． 【解析】 ⑴ 4n?11；

⑵ ?2；

⑶ 35；

a1?4，则公差d等于______．前n项和Sn=______． 2．⑴等差数列?an?的前n项和为Sn，且S3?6，a7?_______． a4a20?50，则通项an?_____；若Sn?242，则⑶等差数列?an?的前n项和记为Sn，已知a10?30，⑵等差数列?an?的前n项和为Sn，且S5?a5．若a4?0，则

n?______．

【解析】 ⑴ ?2；5n?n2．

⑵3；

⑶ 2n?10，11；

3．⑴数列{an}的前n项和Sn?2n2?4n，则数列{an}的通项an?_____．

5a1?a2?L?an?an2?bn，⑵在数列?an?中，其中a，则ab? ． n?N*，b为常数，an?4n?，2【解析】 ⑴4n?2；⑵?1；

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2.1 等差数列的性质

<教师备案>几乎所有的数列问题都可以通过最基础的公式解决，比如等差数列中，只利用两个公式：

n(n?1)就可以把整个问题化简为只含有a1和d两个变量的an?a1?(n?1)d和Sn?na1?d，

2问题，然后代入条件求解即可．但是，如果每道题都这么做的话，数列就会成为非常耗时

间的问题．以下我们总结了不同层次数列性质的考察，掌握的越多，解数列题就会越轻松．寒假预习时我们学习了其中最常见的四个性质，见考点1的等差数列性质的知识回顾，对这四个性质的拓展与综合应用，我们安排了一道例题，见例1．之后我们将数列的其它性质分成几个部分，每部分都配有相应的例题．也可以根据需要调整例题的顺序．

考点1：等差数列的性质（一）

寒假知识回顾

<教师备案>本块主要回顾寒假预习讲过的等差数列的简单性质，即性质⑴⑵⑶⑷．这些性质非常常用，

后面就这些性质进行一些拓展与应用，见例题1．

等差数列?an?的性质（一）（其中{an}的公差为d，前n项和为Sn）： ⑴an?am?(n?m)d（m，n?N*）；

⑵若p?q?m?n，则有ap?aq?am?an；若2m?p?q，则有2am?ap?aq（p，q，m，n?N?）； ⑶在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an?m，an?2m，……为等差数列，公差为md；

⑷若?an?为等差数列，Sn为前n项和，则S2n?1?(2n?1)an． <教师备案>性质⑷S2n?1?(2n?1)an可以引申出：

对于项数为2k（k?N*）的等差数列，

有S奇?a1?a3?L?a2k?1?kak，S偶?a2?a4?L?a2k?kak?1，故对于项数为2k?1(k?N*)的等差数列，

有S奇?a1?a3?L?a2k?1?kak，S偶?a2?a4?L?a2k?2?(k?1)ak，故

S奇S偶?k． k?1S奇S偶?ak； ak?1这些引申的性质不需要记，用性质⑷很容易推导出来，见下面的例题1．

1．已知{an}是等差数列，若a10?1，a15?3，则公差d?_____，a20?______，a30?______．

2【解析】 ，5，9；

5

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2．已知{an}是等差数列，若a2?3，a7?13，则数列?an?前8项的和为（ ） A．128 B．80 C．64 D．56

【解析】 C；

3．已知{an}是等差数列，a1?a2?4，a7?a8?28，则该数列前10项和S10等于（ ） A．64 B．100 C．110 D．120 【解析】 B；

4．设等差数列的前n项和为Sn，若a2?a8?15?a5，则S9等于（ ） A．15 B．36 C．45 D．60 【解析】 C；

经典精讲

【例1】 ⑴

已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? ．

⑵若一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为_____．

⑶项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项为____，项数为______．

【解析】 ⑴ 7；

⑵ 13； ⑶ 11，7；

【备选】若关于x的方程x2?x?a?0和x2?x?b?0（a?b）的四个根可组成首项为则a?b的值是_________．

31【解析】 a?b?．

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考点2：等差数列的性质（二）

<教师备案>由性质⑷可以直接得到下面的推论．从而由等差数列的对应项的比值得到相关的和的对应

项的比值．

1的等差数列， 4知识点睛

等差数列?an?的性质（二）（其中{an}的公差为d，前n项和为Sn）： ⑸若?an?，?bn?为等差数列，An，Bn为前n项和，若bn?0，有

anA2n?1． ?bnB2n?1经典精讲

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