2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）

12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．

π B．6π C．

π D．

π

【解答】解：如下图所示：

三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为三棱锥F﹣ABC， 底面ABC是边长为2的等边三角形，外接圆半径为为1，

设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得：R=

，内切圆半径为，高

故此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=故选：A．

π，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．

13．（5分）已知向量，满足||=2||=2，与的夹角为120°，则|﹣2|=

．

【解答】解：∵||=2||=2，与的夹角为120°， ∴

，

，

，

∴|﹣2|2=

∴|﹣2|=故答案为：

． ．

14．（5分）若双曲线±x ．

的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为 y=【解答】解：根据题意，双曲线则a=5，

又由双曲线的焦点在x轴上且b=1， 则双曲线的渐近线方程为y=±x； 故答案为：y=±x．

的实轴长是10，即2a=10，

15．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为

．

【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4， ∴由正弦定理化简得：a：b：c=2：3：4， 分别设a=2k，b=3k，c=4k， 则最大角为C， ∴cosC=

故答案为：﹣．

16．（5分）已知函数f（x）== 6 ．

【解答】解：∵函数f（x）=

﹣

，

﹣

，则f（log26）+f（

）

=

=﹣，

设h（x）==，

g（x）=，

则g（﹣x）==﹣=﹣g（x），

∴h（x）+h（﹣x）=g（x）+g（﹣x）+， ﹣log26=log2， ∴h（log26）+h（∵（）

+（）

）=，

=

）=6．

，

∴f（log26）+f（故答案为：6．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a17=33，S7=49． （1）证明：a1，a5，a41成等比数列； （2）求数列{an?3n}的前n项和Tn．

【解答】（1）证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由于a17=33，S7=49， 则：

，

解得：a1=1，d=2， 所以：an=2n﹣1． 则：a1=1，a5=9，a41=81， 即：

=a1?a41．

所以：a1，a5，a41成等比数列．

（2）解：由（1）得：an?3n=（2n﹣1）?3n， 则：则：3①﹣②得：整理得：

故数列的前n项和为：

18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：

．

+…+（2n﹣1）?3n①， +…+（2n﹣1）?3n+1②

﹣（2n﹣1）?3n+1，

（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；

（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？ 【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：

=

（195+194+196+193+194+197+196+195+193+197）=195（cm），

乙厂这批轮胎宽度的平均值为：

=

（195+196+193+192+195+194+195+192+195+193）=194（cm）．

（2）甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195， 平均数为

=（195+194+196+194+196+195）=195，