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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题 1．曲线积分
?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B
A.
1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则
C??ydx?xdyx?y? C
A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则
?ydx?xdy2C?4x2?y? D
A.?2? B. 2? C.0 D. ? 4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则
??(x2?y2?z2)ds? D
?A.0 B. ? C.
14? D. 12? 5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C
CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1，则曲面积分
??dS?1?x2?y2?z2的值为 [ B ]
A.4? B.2? C.? D.12?
7. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分
?Lyds?[ C ]
A. 11222 B. ?2 C. 2 D. ?2
8. 设I=?Lyds 其中L是抛物线y?x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=[D ]
A.
555555?155?16 B.12 C.6 D. 12 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么 ? 是（ D ） A.
12?lxdx?ydy； B. 12?lydy?xdx； - 1 -
第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
C.
211； D. ydx?xdyxdy?ydx。
2?l2?l22210．设S:x?y?z?R(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有 C
A.C.
??xds?4??xds B.??yds?4??yds
SS1SS1??zds?4??zds D.??xyzds?4??xyzds
SS1SS1
二、填空题
1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
?Lydx?(ey2?x)dy? -2
2.S为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0
s3.
x2?y2?1x?y?ydx?xdy22 =?2?
4．曲线积分
?C(x2?y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2?a3
5．设∑为上半球面z?4?x2?y22?z?0?，则曲面积分???x2?y2?z2?ds= 32π
?6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分
2??xC2?y2?3x?ds? 2? . 7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分8. 设?为上半球面z?4?x?y，则曲面积分
22?C(x?y)ds?1+832 ??1??dsx2?y2?z2的值为 ?。
9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是
S???1?(D?z2?z)?()2d? ?x?y310．设L是抛物线y?x上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x?4y)dx? L?12 11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?3t上相应于t从0到?的一段弧，
则曲线积分I??(x2?y2?z2)ds? 2??1??2? 。
?12、设L为x?y?a的正向，则
222xdy?ydx?Lx2?y2? 2? 。
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
三、计算题 1．eL?x2?y2 ds，其中L为圆周x2?y2?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA方程y?x,0?x?线段OB方程y?0,0?x?1。
x2?y2?x?cos?2?，圆弧AB方程?,0??? 24?y?sin?则原式＝
OA?eds＋
AB?ex2?y2ds＋
OB?ex2?y2ds＝?22?0e2x2dx＋?4ed?＋?exdx
001＝2(e?1)? 2．
?4e ＃
?Lx2?y2dx?y[xy?ln(x?x2?y2)]dy，其中L为曲线y?sinx,0?x??与直线
段y?0,0?x??所围闭区域D的正向边界。 解：利用格林公式，P?
x2?y2，Q?y[xy?ln(x?x2?y2)]，则
，?P??yyx2?y2?Qy ?y2?22?xx?y故原式＝
??(D?Q?P?)dxdy???y2dxdy??x?yD22??0dx?sinx0y2dy＝
1?34 ＃ sinxdx??039223．ydx?xdy，其中L为圆周x?y?R的上半部分，L的方向为逆时针。
?L2解：L的参数方程为?故原式＝
?x?Rcost，t从0变化到?。
?y?Rsint??0[R2sin2t(?Rsint)?R2cos2t(Rcost)]dt
＝R34322[(1?cost)(?sint)?(1?sint)cost]dt＝?R ＃ ?03?224．求抛物面z?x?y被平面z?1所割下的有界部分?的面积。
解：曲面?的方程为z?x?y,(x,y)?D，这里D为?在XOY平面的投影区域
22{(x,y)x2?y2?1}。
故所求面积＝
??D221?zx?zydxdy???D1?4(x2?y2)dxdy
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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案
??d??02?101?4r2rdr?55?1? ＃ 6222xx5、计算(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy，其中L为圆(x?a)?y?a(a?0)的上
?L半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点O。
解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式
P?(exsiny?my)，Q?excosy?m，
于是(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＋
L?P?Q?excosy?m，?excosy ?y?xx?xxOA??(esiny?my)dx?(excosy?m)dy
m?a2＝m??dxdy?
2D而
xx(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＝?0dx?0?0，于是便有 ?02aOA?
?(eLxsiny?mydx)?e(xm?a2
＃ cyo?smdy＝)2
2222222226．(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz，其中L为球面x?y?z?1在第一
?L卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程
?x?0??t，t从变化到0。 ?y?cos2?z?sint?于是
0422222222＝＝ [sint(?sint)?cost(cost)]dt(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz???32AB由对称性即得
?(yL2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?3?(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?4AB ＃ 7．
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy，其中?为平面x?y?z?1,x?0,y?0,
?z?0所围立体的表面的外侧。
解：记?1为该表面在XOY平面内的部分，?2为该表面在YOZ平面内的部分，
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