广西钦州市2014年中考数学试题（word版，含解析）

点评： 此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 25．（10分）(2014年广西钦州)如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求弦BD的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

考点： 切线的判定；扇形面积的计算． 分析： （1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线；

（2）利用（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度； （3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积． 解答： （1）证明：连接OC，OC交BD于E， ∵∠CDB=30°， ∴∠COB=2∠CDB=60°， ∵∠CDB=∠OBD， ∴CD∥AB， 又∵AC∥BD， ∴四边形ABDC为平行四边形， ∴∠A=∠D=30°， ∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，OC⊥AC． ∵AC∥BD，

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∴OC⊥BD， ∴BE=DE， ∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6， ∴BE=OBcos30°=3， ∴BD=2BE=6；

[来源学科网]（3）解：易证△OEB≌△CED， ∴S阴影=S扇形BOC ∴S阴影=

=6π．

答：阴影部分的面积是6π．

点评： 本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形面积的计算．关键是连接OC，利用内角和定理，三角形全等的知识解题．

26．（12分）(2014年广西钦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H． （1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

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考点： 二次函数综合题．

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分析： （1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m﹣m+4﹣4=﹣m﹣m；

（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m，m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

2

2

2

2

2

∴，解得

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G， ∴P（m，﹣m﹣m+4），G（m，4）， ∴PG=﹣m﹣m+4﹣4=﹣m﹣m；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似． ∵y=﹣x﹣x+4，

∴当y=0时，﹣x﹣x+4=0，

解得x=1或﹣3， ∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0． 设直线BD的解析式为y=kx+4， 将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0， 解得k=，

∴直线BD的解析式为y=x+4， ∴H（m，m+4）． 分两种情况：

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2

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2

2

①如果△BGP∽△DEH，那么

=

，

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1； ②如果△PGB∽△DEH，那么

=

，

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣

．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．

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