必修3 第三章 概率3.2-3.3.3 古典概型 几何概型 教师版

144190833.doc 第 5 页 共 12 页 2013-1-10

经典之四 与面积(或体积)有关的几何概型

[例4] (2012·广州模拟)在平面区域{(x，y)|y≤－x2＋2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{(x，y)|y≤x，x＋y≤2，且y≥0}内的点的概率为________．

[思路点拨] 画出两个平面区域，用几何概型求解．

[解析] 设A＝{(x，y)|y≤－x2＋2x，且y≥0}．

B＝{(x，y)|y≤x，x＋y≤2，且y≥0}，如图所示平面区域A是抛物线与x轴围成的区域，平面区域B是三角形区域，

4且SA＝?2(－x2＋2x)dx＝，

3?

0

113

SB＝×2×1＝1，故所求概率为P＝＝. 244

33

[答案] 4

[点评] 解答此类题目的关键是正确画出试验的全部结果构成的区域及事件发生的区域，然后对曲边梯形的区域用定积分求出面积．

[备选例题] (2012·北京朝阳区一模)一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．

[思路点拨] 考虑蜜蜂所处的总空间以及蜜蜂飞行的安全空间．

[解析] 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域1031飞行时是安全的，故P(A)＝3＝.

3027

[答案]

1 27

[点评] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)．本题的易错点是：计算错蜜蜂飞行的安全空间．

144190833.doc 第 6 页 共 12 页 2013-1-10

四 高考分析 （切入高考，自主发现，解决问题）

【考情分析】

从近几年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计或随机变量的分布列一起考查，属容易或中档题．以考查基本概念、基本运算为主．而各地对几何概型考查相对较少，属中档题，主要考查基础知识．

[考题] (2011·山东卷)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． [解] (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种． 从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种， 4选出的两名教师性别相同的概率为P＝.

9

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．

从中选出两名教师来自同一学校的结果有：

(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种． 62

选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝＝. 155

五 现场体验

1．(2011·福建卷)如上图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )

1112A. B. C. D. 4323

解析：由题意知，可设事件A为“点Q落在△ABE内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD内所有点，事1

件A为△ABE内的所有点，又因为E是CD的中点，所以S△ABE＝AD×AB，S矩形ABCD＝AD×AB，所以P(A)

21

＝，故选C. 答案：C 2

2．(2011·江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的

144190833.doc 第 7 页 共 12 页 2013-1-10

11

距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家24看书的概率为________．

解析：设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在11

??2π－??2π241313

家看书}，作图可知，P(D)＝1－＝. 答案：

π1616

六 技法点拨

1．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．

2．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、总长度)”之比来表示．

3．几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．

七 课堂练习

1．(2012·东北四校联考)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )

1111

A. B. C. 34612

解析：由题意(m，n)的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，?，(1,6)；(2,1)，(2,2)，?，(2,6)；?；(6,1)，(6,2)，?，(6,6)共有36种情况，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为

31

＝. 答案：D 3612

2．在长为3 m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1 m的概率是( ) 1112A. B. C. D. 4323

解析：由题意可设线段AB的三等分点为C、D，如图，当点P位于C、D之间时满足条件，即点P与线段1两端点A、B的距离都大于1 m，故所求概率为.

3

答案：B

3．(2012·山东临沂)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为π

α，则α∈(0，]的概率为( )

2

71337A. B. C. D. 8161612

144190833.doc 第 8 页 共 12 页 2013-1-10

π

解析：当α∈(0，]，得cosα≥0，从而a·b＝m－n≥0.当m＝1时，n＝1；当m＝2时，n＝1、2；当m＝3

21＋2＋3＋4＋5＋67

时，n＝1、2、3；?；当m＝6时，n＝1、2、3、4、5、6.故所求概率为＝. 答案：D

3612

4．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为__________．

77713

解析：要及格必须答对2道或3道题，共C2C＋C＝7种情形，故P＝＝. 答案： 3323

C51010

5．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为__________．

解析：首先在平面直角坐标系中作出集合Ω和集合A所表示的平面区域如图，结合图像可知所求概率应为P＝

S△COD42

＝＝. S△AOB189 2答案：

9

x＋2

6．已知集合A＝{x|－3

x－3(1)求A∩B，A∪B；

(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；

(3)设{a，b}为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b－a∈A∪B”的概率．

解：(1)由已知B＝{x|－2

3

(2)设事件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1＝.

8(3)因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，

所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，

(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)． 设事件E为“b－a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件， 事件E的概率P(E)＝

93＝. 124

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇

八 课时作业 古典概型与几何概型