西南最新版[0772]《中学代数研究》网上作业及课程考试复习资料（有答案）

[0772]《中学代数研究》

第一批次作业 [填空题]

1、在代数发展史中，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为--------------与----------------。 2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：

------------,--------------,-------------,--------------,----------------。

3、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的-----------------.

4、布尔巴基学派认为数学有三种基本的结构：

-------------,----------------,--------------。

5、自然数公理系统直接地保证了------------------的合理性。

6、自然数有两种属性，一是----------属性，一是-------------属性。 7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立----------------关系。 8、任意两个不同的有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有??????。

9、无理数有三种不同的定义方法：-----------------------，--------------------,---------------------。 10、复数的棣莫弗公式是-------------------。

参考答案：

1、古典代数，近世代数

2、数和数系，方程，函数，不等式，数列 3、直观理解

4、代数结构，序结构，拓扑结构 5、数学归纳法 6、基数，序数 7、一一对应 8、稠密性

9、无穷小数说，康托的基本序列说，戴德金分割说

10、复数的棣莫弗公式为：(cos??isin?)n?cosn??isinn?

[论述题]

2、简答题

1、请说明为什么有理数集是可数的？

2、请举例解释有理数集虽然是稠密的，但不具有完备性（或连续性）。

参考答案：

1、答案要点：关键是要说明正有理数是可数的，因为如果正有理数可数，那么负有理数也可数，而有理数集有所有正有理数、负有理数以及零构成，根据有限个可数集的并集是可数的，所以，有理数集是可数的。而要说明正有理数是可数的，可以通过列出有理数方阵，使所有正有理数与自然数建立一一对应的关系就可以了。

2、答案要点：所谓一个数集是完备的，是指任意的由该数集中的数组成的数列，如果数列有极限存在的话，则该极限也要属于该数集。但我们可以举出有理数数列，它存在一个极限，但该极限不是有理数，比如存在有以欧拉数e 为极限的有理数数列。因此有理数集尽管是稠密的，但它不是完备的。 第二批次作业

[论述题] 1、证明?与

1的和是无理数。 3111的和是一个有理数a，即a???，则a???。因3331为全体有理数成为一个域，对减法运算封闭，所以差a?仍是有理数。此与?是无理数矛

31盾，所以?与的和是无理数。

3参考答案：证（反证法）假如?与

[论述题]

1、试用自然数（皮亚诺）公理系统证明数学归纳法：

设p(n)是关于自然数n 的命题，如果p(n)满足下面的条件： （1）p(1)成立；

（2）假定从P(k) 成立可以推出p(k+1)也成立，则命题p(n)对所有的自然数n 都成立。

2、试用自然数（皮亚诺）公理系统证明加法结合律：

即对于任意的自然数a,b,c.均有(a+b)+c=a+(b+c).

3、证明任何一个有理数的平方都不等于5。

4、证明欧拉数e不是有理数。

参考答案：

第二批作业参考答案：

1、 2、 3、

参见教材p 8. 参见教材p 9-10. 证明：（反证法）设

5a25?a225b?ab，其中a和b互素。于是有，

由a、b互素，有

，有因5是素数，有5a，即a=5c,c是某个整

22数，于是有b?5c，同样讨论可以证明b是5的一个倍数。这样

a和b都是5的倍数，这与a、b互素矛盾。故得证。 4、

第三批次作业

[论述题] 1、方程的定义是什么？并说出这样定义的好处？

参见教材P31-32

2、求(1?i)

3、证明(a?b)(c?d)?(ac?bd)。并给出几何意义。 4、数列

参考答案：第3次作业参考答案：

2222211a1,a2,a3,?,an为一给定的有限数列，试给出数列的通项公式。

1、参考教材64页。 2、求(1?i)11

答

棣莫佛公式求解，得11??11?11?(1?i)11?2(cos?isin)11?322(cos?isin)??32?32i

4444;用，

3、提示：可用两个向量的数量积给出解释。

4、参考教材132页。

第四批次作业 [论述题]

第四批作业：

54321、给出方程x?x?x?x?x?1?0的5个根。

aA?bB?cC??a,b,cA,B,C?ABCa?b?c3 2、在中，为角所对的边，求证

（提示：可用排序不等式证明）

2229???3、设a,b,c为正数且各不相等，求证：a?bb?cc?aa?b?c

（提示：可用柯西不等式证明）

4、求解《孙子算经》中的“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

参考答案：第四批作业参考答案：

54321、给出方程x?x?x?x?x?1?0的5个根。

解：由x6?1?(x?1)(x5?x4?x3?x2?x?1)，得分圆方程

x5?x4?x3?x2?x?1?0的根为除去x?1的方程x6?1?0的另5个单位根：

13?i,22-131313 ?i,?1,??i,?i222222aA?bB?cC??a,b,cA,B,C?ABCa?b?c3 2、在中，为角所对的边，求证

答：不妨设a?b?c,则A?B?C，由排序不等式得，

aA?bB?cC?bA?cB?aC,aA?bB?cC?cA?aB?bC,aA?bB?cC?aA?bB?cC三式相加即得证。

2229???3、设a,b,c为正数且各不相等，求证：a?bb?cc?aa?b?c

证：待证不等式化为(111??)?2(a?b?c)?9，根据柯西不等式，左端=a?bb?cc?a(111??)?(a?b)?(b?c)?(c?a)??(1?1?1)2?9 又a,b,c各不相等，a?bb?cc?a因此等号不成立。原不等式得证。

4、求解《孙子算经》中的“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 参见教材P92.也可用明代数学家程大位给出的口诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”。