2010年部分省市中考数学试题分类汇编压轴题（一）与答案

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2010年部分省市中考数学试题分类汇编

压轴题(一)

24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为 1，点P是⊙O上一点，弦 AB垂直平分线

段OP，点D是APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半

径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠

S

（3）记△ABC的面积为S，若

ACB的大小；否则，请说明理由；

DE2 ＝43

，求△ABC的周长.

C

P D

A

E

B

O

【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为

F，则△OAF为直角三角形，且

OA＝1，OF＝，

2

1借助勾股定理可求得 AF的长； C

G

P

D H

A

F

E

B

O

（ 2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC 的内切圆，所以 AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠ 的一半；

（3）由题可知SSABDSACD

DAE＋∠DBA是定值，

AOB值

那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠

S

＝

BCD

1 2

DE(AB＋AC＋BC)，又因为

S

2

43，所以

DE

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1 2

DE(AB

DE

ACBC)

2

4 3

，所以AB＋AC＋BC＝83DE，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH

中，CH＝ 3DH＝ 3DE，同理可得 CG＝ 3DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋

BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝23

DE＋2 3，可得83DE＝23DE＋23，解得：DE＝，

1

3

代入AB＋AC＋BC＝ 83DE，即可求得周长为

83． 3

【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为

F，则有OA＝1． C

G P

A

F O

E D

H B

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝

2

1

OP＝2

2

2

1

，AF＝BF． ()＝

2

在Rt△OAF中，∵AF＝OA

OF ＝1

12

3

2

，∴AB＝2AF＝3．

2

（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

1

2

（ 3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则 有 DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

S SABD SACD SBCD

＝ AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC)?DE＝l?DE．

11111

2 ＝4

∵S

2 1

3，∴

2

2

2

2

lDE

＝4

3，∴l＝8

1

3DE.

DE 2

DE2

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝

∠ACB＝30°，

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∴在Rt△CGD中，CG＝

DG tan30

＝

DE

＝ 3DE，∴CH＝CG＝3DE． 3 3

又由切线长定理可知

AG＝AE，BH＝BE， 3＋2 3DE＝8

1

∴l＝AB＋BC＋AC＝2 3DE，解得DE＝ ，

83

∴△ABC的周长为

．

勾股定理 内切圆 切线长定理

三角形面积

【涉及知识点】垂径定理

【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题

25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形 OABC是矩形，点 A、C的坐标分别为（

1

3，

2

b交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形

的面积；若改变，请说明理由.

OABC关于直线 DE的对称图形为四边形

OA1B1C1，试

探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分

y

C

D B

O

【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点

出这个三角形的底边 面积；

OE长（E点横坐标）和高（

果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形

E A

x

E在OA边上，只需求

D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如 OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部

分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在

【答案】（1）由题意得 B（3，1）． 若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝

OA边上的线段长度是否变化．

3

2 5

若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝

2

若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1

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①若直线与折线 OAB的交点在OA上时，即

1＜b≤，如图25-a，

32

y

D

C

B

E

O

此时E（2b，0）

A x

图1

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

11

2

2

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

y

3＜b＜，如图2

52

2

C

O

D

B E A

x

图 2

此时E（3，b

3 2

），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)

＝3－[

1 (2b－1)×1＋ 1 ×(5－2b)·( 5 b)＋ ×3(b 2 2 2 2

1

3 )]＝ 5 bb2

2 2

b

∴S

1 b

3 2

5b b2

2

3

2

b

5 2

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形

OABC的重叠部分的面积即为四边形 DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

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