（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十章 第二节 二项式定理及其应用 理（全国通用）

第二节 二项式定理及其应用

考点一 二项展开式中项的系数

1．(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) A．10

k2

2

5

52

B．20

5－kkC．30 D．60

解析 Tk＋1＝C5(x＋x)

2

2

32

y，∴k＝2.

2r2(3－r)r2

∴C5(x＋x)y的第r＋1项为C5C3x为C5C3＝30. 答案 C

21

xy，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数

2．(2014·四川，2)在x(1＋x)的展开式中，含x项的系数为( ) A．30

B．20

6

2

63

C．15 D．10

2

2

解析 只需求(1＋x)的展开式中含x项的系数即可，而含x项的系数为C6＝15，故选C. 答案 C

?1?23

3．(2014·湖南，4)?x－2y?的展开式中xy的系数是( )

?2?

A．－20

B．－5

C．5

D．20

5

k15－kkk2k－5k5－kk解析 展开式的通项为Tk＋1＝C5(x)·(－2y)＝(－1)·2C5x·y，令5－k＝2，

2

得k＝3.则展开式中xy的系数为(－1)·2答案 A

233

2×3－53

5

C＝－20，故选A.

4．(2013·新课标全国Ⅱ，5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( ) A．－4

B．－3

5

52

C．－2

2

2

1

D．－1

解析 已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为C5＋a·C5＝5，解得a＝－1，故选D. 答案 D

5．(2012·湖北，5)设a∈Z，且0≤a<13，若51A．0

B．1

2 012

2 012

＋a能被13整除，则a＝( )

D．12

1

2 011

C．11 ＝C2 01252

0

2 012

解析 由于51＝52－1，(52－1)－C2 01252＋…－C2 01252＋1，所以只需

2 0111

1＋a能被13整除，0≤a<13，所以a＝12，选D. 答案 D

6．(2015·北京，9)在(2＋x)的展开式中，x的系数为________(用数字作答)． 解析 展开式通项为：Tr＋1＝C52答案 40

1??2

7．(2015·天津，12)在?x－?的展开式中，x的系数为________．

?4x?1?1?1?6－2r?r6－r?r?解析 ?x－?的展开式的通项Tr＋1＝C6x?－?＝C6?－?x； ?4x??4x??4?当6－2r＝2时，r＝2，所以x的系数为

2

53

r5－rr5－3

x，∴当r＝3时，系数为C3＝40. 5·2

6

6rr?1?15

C?－?＝. ?4?16

26

2

答案

15 16

8

27

8．(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)的展开式中xy的系数为________(用数字填写答案)．

解析 由二项展开式公式可知，含xy的项可表示为x·C8xy－y·C8xy，故(x－y)(x＋

612

y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C8＝C8－C8＝8－28＝－20.

27

7

7

626

答案 －20

9．(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x＋a)的展开式中，x的系数为15，则a＝________(用数字作答)． 解析 Tr＋1＝C10x1∴a＝.

21答案

2

10．(2013·四川，11)二项式(x＋y)的展开式中，含xy的项的系数是________(用数字作答)．

解析 设二项式(x＋y)的展开式的通项公式为Tr＋1，则Tr＋1＝C5x5

5

23

10

7

r10－rr3

a，令10－r＝7，得r＝3，∴C310a＝15，即

10×9×831

a＝15，∴a3＝，

3×2×18

r5－r·y，令r＝3，则含

rx2y3的项的系数是C35＝10.

答案 10

11．(2012·浙江，14)若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.

5

5

2

解析 由等式两边对应项系数相等，即

a5＝1，??4

?C5a5＋a4＝0，?a3＝10.

3??C35a5＋C4a4＋a3＝0

答案 10

考点二 二项展开式中的常数项

3?x－a?5

1．(2015·湖南，6)已知??的展开式中含x2的项的系数为30，则a＝( )

x??A.3

B．－3

C．6

D．－6

r5?x－a?5r5－rrrrrr5

解析 ??的展开式通项Tr＋1＝C5x2(－1)a·x－2＝(－1)aC5x2－r，令2－rx??

3

＝，则r＝1， 2

131

∴T2＝－aC5x，∴－aC5＝30，∴a＝－6，故选D.

2

答案 D

?3x＋1?n2．(2013·辽宁，7)使得??(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )

xx??

A．4

B．5

kC．6

n－kD．7

解析 展开式的通项公式为Tk＋1＝Cn(3x)所以当k＝2时，n有最小值5，选B. 答案 B

5k5k5k?1?kkn－k??＝Cn3xn－2.由n－2＝0得n＝2，?xx?

1?6???x－x?，x<0，?3．(2013·陕西，8)设函数f(x)＝??则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式

?－x，x≥0.中常数项为( ) A．－20

B．20

C．－15

D．15

1?3?－x＋1?6?1－x?63?解析 当x>0时，f[f(x)]＝?常数项为C6??(－?＝??的展开式中，

x??x???x?

x)3＝－20.所以选A.

答案 A

?x＋1?8

4．(2012·重庆，4)??的展开式中常数项为( )

2x??

35

A. 16

B.35 8

kC.35 4

D．105

?1?k?1?kk4－k解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝C8(x)??＝??C8x，令4－k＝0，解得k＝4，

?2x??2?

8－k?1?435

所以T5＝??C8＝，故选B.

8?2?

答案 B

4

?x－1?5

?的展开式中常数项为A，则A＝________. 5．(2013·浙江，11)设二项式?3??x??

5－r－r?x－1?5

rr??解析 二项式3?的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·x2·(－1)·x3＝(－?x??15－5r15－5r3

1)·C5·x6.令＝0，解得r＝3，故展开式的常数项为－C5＝－10，故A为－

6

rr10. 答案 －10

考点三 二项式定理的综合应用

1．(2015·陕西，4)二项式(x＋1)(n∈N＋)的展开式中x的系数为15，则n＝( ) A．4

B．5

n－2

n－2

2

n2

C．6 D．7

解析 由题意易得：Cn＝15，Cn＝Cn＝15，即答案 C

n（n－1）

2

＝15，解得n＝6.

a?1?2．(2014·湖北，2)若二项式?2x＋?的展开式中3的系数是84，则实数a＝( ) x?x?

5

B.4

2 4

7

A．2 C．1 D.

1?a?7－rrr255

解析 Tr＋1＝C7·(2x)·??＝2C7a·2r－7.令2r－7＝3，则r＝5.由2·C7a＝84得

x?x?

r7－rra＝1，故选C.

答案 C