职高高二数学数学复数及其应用 教案

第四十四：应用举例（一）

【教学目标】

知识目标：

了解复数乘法运算的几何意义和旋转因子的作用. 会进行同频率正弦量合成的有关计算 能力目标：

通过对复数应用举例的学习，使学生分析与解决问题的能力得到锻炼和提高．

【教学重点】

会进行同频率正弦量合成的有关计算.

【教学难点】

对旋转因子的理解及应用．

【课时安排】

1课时

【教学过程】

动脑思考 探索新知

我们首先通过一道例题来研究复数乘法运算的几何意义．

πzz例1 已知复数z?2?，求（1）zi，；（2）在同一个坐标系内画出z、zi与所对应

6ii的向量，观察它们的模与辐角之间的关系．

π解 （1）由于 i=?，所以

2πzππππ2π6?2?(π?π)?2?(?π)． zi?2????2?(?)?2?， ?πi62362623?22???????????????z所对应的向量OZ、．观察OZ1、OZ2（如图3－7）i?????????π图形发现，三个向量的模相等，向量OZ1是向量OZ绕坐标原点，沿着逆时针方向旋转得

2?????????π到的，向量OZ2是向量OZ绕坐标原点，沿着顺时针方向旋转得到的．

2（2）在同一个坐标系内画出z、zi与

图3－

动脑思考 探索新知

??????????????设复数z1?r1??1，z2?r2??2分别对应向量OZ1和OZ2，则z1z2对应的向量OZ可以由向

?????量OZ1绕坐标原点逆时针旋转角?2，然后再将模伸长（r2?1）或压缩（r2?1）成原来的r2倍得到．这就是复数乘法的几何意义．

作为特例，??是模为1，辐角为?的复数，任意复数z?r??乘以??，意义是其向量

的模不变，绕坐标原点逆时针旋转了?角．因此，??叫做旋转因子．

πi=?是一个特殊的旋转因子，复数zi表示将z对应的向量绕坐标原点，沿着顺时针方

2π． 2向旋转

电学中将正弦交流电源作用下产生的电压和电流统称为正弦量．一般研究的都是同频率的正弦量．因为频率相同，所以要确定电压，只要确定它的最大值Um和初相?就可以了．

以电压为例，设电压u?Umsin(?t??)，以它为虚部的复数为 U?Umcos(?t??)?iUmsin(?t??)

?Umei(?t??)?ei?t?Umei?.

??Uei?，则其模是电压u的最大值；其辐角为对应正弦量的初相位，旋转因设复数Umm子ei?t是模为1，在复平面上以角速度?沿逆时针方向旋转的向量，表示对应正弦量的角频

率．

??Uei?的模和辐角正好能反映电压u的最大值U和初相位?．因由此看来，复数Ummm此，正弦量可以用复数来表示．

这种用复数来进行正弦交流电路分析计算的方法叫做相量法， 用来表示正弦量的最大值和初相的复数叫做相量．

为了加以区别，表示相量时，在表示相量的大写字母上面加“· ”． 例如，u?Umsin(?t??)，相应相量表示为

i???Ue U?U?mmm?． )?U(cos??isi?nm

（转下节）

第四十五：应用举例（二）

【教学目标】

知识目标：

了解复数乘法运算的几何意义和旋转因子的作用. 会进行同频率正弦量合成的有关计算 能力目标：

通过对复数应用举例的学习，使学生分析与解决问题的能力得到锻炼和提高．

【教学重点】

会进行同频率正弦量合成的有关计算.

【教学难点】

对旋转因子的理解及应用．

【课时安排】

1课时

【教学过程】（接上节）

巩固知识 典型例题

例2 求下列已知电流的合成电流：

ππI1?30sin(100t?)， I2?40sin(100t?).

33分析 两个同频率的正弦量的合成仍是正弦量，其频率不变，只是峰值及初相位与原来不同，电流I1和I2相应的相量为 I1?30e与I2?40e????iπ3?πi(?)3.

?那么，我们只要求出I?I1?I2的模和幅角，就可以求出复数I的三角形式，从而求出合成电流I．

解 对应于电流I1和I2的相量分别为：I1?30e，I2?40e则 I?I1?I2?30e?40e???iπ3πi(?)3?iπ3?πi(?)3

?30(cosππππ?isin)?40[cos(?)?isin(?)] 33331313?30(?i)?40(?i)?35?53i.

2222??352?(?53)2?36.06，tan???53??3，???13?54'．于是 I

357故I1和I2的合成电流I?36.06sin(100t?13?54').

动脑思考 探索新知

进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： （1）写出对应相量；

（2）将各相量写成复数的代数形式； （3）进行复数的加、减运算；

（4）将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量. 巩固知识 典型例题

例3 已知电压u1?ππ2sin(?t?)，u2?sin(?t?)．

43?，U?；求（1）电压的相量U12（2）u1?u2．

??解 （1）U1ππ26 2(cos?isin)??i，3322??cos(?π)?isin(?π)?2?2i． U24422??U??（2）U122622?i??i 22226?2i 2?2??1.414?0.518i ?1.51(cos20?7'?isin20?7')，

故 u1?u2?1.51sin(?t?20?07')． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：

进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： 结论：

（1）写出对应相量；

（2）将各相量写成复数的代数形式； （3）进行复数的加、减运算；

（4）将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量. *继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题3．3（必做）；学习与训练训练题3．3（选做）