职高高二数学数学复数及其应用 教案

第三十八课时：复数代数形式的运算（一）

【教学目标】

知识目标：

会进行复数代数形式、三角形式的运算. 能力目标：

通过对复数相关计算的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

（1）复数代数形式的加、减运算. （2）复数三角形式的乘、除、乘方运算．

【教学难点】

三角形式的乘法、除法、乘方运算．

【教学设计】

在讲解复数代数形式的运算时，可以首先指出，当数的概念扩充以后，需要把数的运算也进行扩充．例1是两个代数形式的复数进行加、减运算的知识巩固性题目，例2比例1稍微复杂一些，是三个代数形式的复数进行加、减的混合运算．例3（1）是两个代数形式的复数进行乘法运算的知识巩固性题目，例3（2）是代数形式的复数进行乘方运算．例４是求复数与其共轭复数的乘积，结果是该复数实部与虚部的平方和.这个结论非常重要，使用它可以把虚数转化为实数，在复数的除法中就要用到这个结论．复数代数形式的除法运算，类似于初中代数根式运算中的分母有理化．例5、例6都是两个代数形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目，但略有不同，例5中的两个复数直接写为商的形式，而例6的两个复数未直接写为商的形式，需转化为商的形式，再进行“分母实数化”．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

动脑思考 探索新知

复数代数形式的运算

1. 复数代数形式的加法和减法

复数的加法和减法，可以按照多项式的加法和减法运算法则进行运算．将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．即

(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i （3．5）

(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i （3．6）

可以证明（证明略），复数的加法运算满足交换律与结合律．即对任意的复数z1、z2、z3，有

(1) 交换律 z1?z2?z2?z1；

(2) 结合律 (z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)．

由于复数可以用向量表示，故复数的加减运算相当于向量的加减运算．设复数

??????????z1?a?bi(a,b?R)和复数z2?c?di(c,d?R)在复平面内对应的向量分别为OZ1和OZ2，

??????????则OZ1?(a，b)，则 OZ2?(c，d)，?????????? OZ1?OZ2?(a?c，b?d)，?????????? OZ1?OZ2?(a?c，b?d)．巩固知识 典型例题

例1 计算：（1）（4+3i）＋（7+9i）；

（2）(8+3i)－ (1－2i).

解 （1）（4+3i）＋（7+9i）

?(4?7)?(3?9)i?11?12i；

（2）(8+3i)－ (1－2i)

?(8?1)?[3?(?2)]i?7?5i.

例2 计算（3－2i）+ (2+3i)—(4－2i). 解 （3－2i）+ (2+3i)－ (4－2i)

＝ (3+2－4)+ [－2+3－(－2)]i ＝1+3i.

（转下节）

第三十九课时：复数代数形式的运算（二）

【教学目标】

知识目标：

会进行复数代数形式、三角形式的运算. 能力目标：

通过对复数相关计算的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

（1）复数代数形式的加、减运算. （2）复数三角形式的乘、除、乘方运算．

【教学难点】

三角形式的乘法、除法、乘方运算．

【教学设计】

在讲解复数代数形式的运算时，可以首先指出，当数的概念扩充以后，需要把数的运算也进行扩充．例1是两个代数形式的复数进行加、减运算的知识巩固性题目，例2比例1稍微复杂一些，是三个代数形式的复数进行加、减的混合运算．例3（1）是两个代数形式的复数进行乘法运算的知识巩固性题目，例3（2）是代数形式的复数进行乘方运算．例４是求复数与其共轭复数的乘积，结果是该复数实部与虚部的平方和.这个结论非常重要，使用它可以把虚数转化为实数，在复数的除法中就要用到这个结论．复数代数形式的除法运算，类似于初中代数根式运算中的分母有理化．例5、例6都是两个代数形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目，但略有不同，例5中的两个复数直接写为商的形式，而例6的两个复数未直接写为商的形式，需转化为商的形式，再进行“分母实数化”．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】（接上节）

动脑思考 探索新知

2．复数代数形式的乘法和除法

两个复数相乘可以按照多项式相乘的法则来进行，在所得的结果中，把i2换成－1，并把实部与虚部分别合并．设z1?a?bi(a,b?R)，z2?c?di(c,d?R)，则

2z1?z2?(a?bi)?(c?di)?ac?adi?bci?bdi?(ac?bd)?(ad?bc)i，

即 (a?bi)?(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i （3．7）

显然，两个复数的积仍然是复数．可以证明（证明略）复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即对任意复数z1、z2、z3，有 (1) 交换律 z1?z2?z2?z1；(2

结合律 (z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)；

n?z?z??????z(n?N)．（3）分配律 z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3． 规定 z?? ?n个在实数范围内成立的乘法公式在复数范围内仍然成立．

与实数相类似，除法运算可以看成乘法运算的逆运算．利用复数的代数形式，求

z1的z2基本方法是，将分式的分子和分母同乘以分母的共轭复数z2，使分母变为实数．即

a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i(ac?bd)(bc?ad) ???2?2i．2222c?di(c?di)(c?di)c?dc?dc?d巩固知识 典型例题

例3 设z1?4?2i，z2?5?6i，计算 (1) z1?z2，(2) z12．

2?20?24i?10i?12i?32?14i. 解 (1) z1?z2=(4?2i)?(5?6i) (2) z12?(4?2i)2?16?16i?4i2?12?16i． 例4 设z?a?bi(a，b?R)，计算z?z．

解 z?z=(a?bi)?(a?bi)=a2?b2i2=a2?b2．

说明 由此例可以看到，互为共轭的两个复数的乘积是实数，并且等于这个复数的模的平方．

例5 计算

5?2i． 分析 1?2i的共轭复数为1?2i． 1?2i5?2i(5?2i)(1?2i)5?10i+2i?4i21?12i112???i. ?解 ?221?2i(1?2i)(1?2i)5551?2例6 计算(1?i)?(1?i).

1?i?2i(1?i)2???i．解 (1?i)?(1?i)? ?1?i(1?i)(1?i)2作业：?1?(3?2i)?(?3?4i)；

??2?(34i?)(?53i?)?(．4 4i)