职高高二数学数学复数及其应用 教案

第三十六课时：复数的三角形式（一）

【教学目标】

知识目标：

会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式． 能力目标：

通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

（1）复数的几何表示．

（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式.

【教学难点】

复数的代数形式转化为三角形式．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

动脑思考 探索新知

复数的三角形式

????观察图3?4，表示复数z?a?bi的向量OZ，可以由向量的大小（模）与方向（与x

轴正方向所成的角）来确定．

????向量OZ的模叫做复数z?a?bi的模（如图3－6），记做z或a?bi，即

?????z?a?bi?OZ?a2?b2． （3.3）

特别地，当b=0时，z=a，于是z?a，此时z的模等于实数a的绝对值.

y Z(a,b) r a b x

o 图3-6 ?

????当复数z?0时，以实轴的正半轴为始边，向量OZ为终边的角?叫做复数z?a?bi的

辐角（如图3－6）．

非零复数z?a?bi的辐角都有无穷多个，其中区间(?π,π]内的辐角叫做辐角主值，记作argz.

当复数z?a?bi?0时，辐角可以由对应点Z(a,b)的位置确定，分为如下两种情况： （1）当点Z(a,b)在某个象限内时，其辐角可以由tan??b和点Z(a,b)所在的象限确定； a（2）当点Z(a,b)分别在正半实轴、负半实轴、正半虚轴或负半虚轴上时，其辐角分别

为0、π、

ππ或?. 22当复数z?a?bi?0时，对应的向量是零向量，辐角可以取任意值.

【想一想】

如果复数z?a?bi中，b?0，那么当a?0及a?0时，复数的辐角主值各是多少？ 巩固知识 典型例题

例6 求下列各复数的模与辐角主值． （1）z1?1?3i； （2）z2?1?i； （3）z3??2?i； （4）z4?5i．

解 （1）由a?1,b?3知点Z1(1,3)在第一象限，故辐角为第一象限的角．所以 z1?1?(3)?2． 又 tan??所以 argz1?223?3， 1π． 3（2）由a?1,b??1知点Z2(1,?1)在第四象限，故辐角为第四象限的角．所以

22 z2?1?(?1)?2．

?1??1， 1π所以 argz2??．

4又 tan??（3）由a??2,b??1知点Z3(?2,?1)在第三象限，故辐角为第三象限的角．所以 z3?(?2)2?(?1)2?3． （转下节）

第三十七课时：复数的三角形式（二）

【教学目标】

知识目标：

会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式． 能力目标：

通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

（1）复数的几何表示．

（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式.

【教学难点】

复数的代数形式转化为三角形式．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】 （接上节） 又 tan???12， ?2?2所以 argz3?35.3??180???144.7?.

（4）由a?0,b?5?0知， z4?动脑思考 探索新知

设复数z?a?bi的模z?r，辐角为?，观察图3－6知， a?rcos?，b?rsin?，所以

02?52?5，argz4?π． 2z?a?bi?rcos??rsin??i?r(cos??isin?)，

即 z?r(cos??isin?)． （3.4）

我们把z?r(cos??isin?)叫做复数的三角形式，而把z=a?bi叫做复数的代数形式．

【注意】复数的三角形式中：

（1）r…0；（2）实部为rcos?，虚部为rsin?；（3）实部与虚部之间用“+”号连接. 从复数的三角形式可以看出，如果两个非零复数的模与辐角分别相等，那么这两个复数相等.

【想一想】 如果两个非零复数的模相等，辐角不相等，那么这两个复数会相等吗?为什么？

与复数的代数形式不同，一个复数的三角形式不是唯一的，设z?r(cos??isin?)，则

z?r[cos(??2kπ)?isin(??2kπ)](k?Z)都是z的三角形式，为了使运算结果一致，本章

中，如果不加说明，复数的辐角指的是辐角主值. 巩固知识 典型例题

例7 把下列复数化为三角形式： （1）z1??1?3i； （2）z2??4i．

分析 将复数的代数形式化为三角形式的关键是求出复数的模与辐角．

解 （1）由a??1,b?3知点Z1(?1,3)在第二象限，故辐角为第二象限的角．所以 r?(?1)2?3?2． 又 tan??22π3． ??3，所以 argz1?3?1因此，复数z1??1?3i的三角形式为 z1?2(cos（2）由a?0,b??4?0知，

2π2π?isin)． 33?， 2ππ因此复数z2??4i的三角形式为 z2? 4[cos(?)?isin(?)]．

22 r?(0)2?(?4)2?4．argz2??例8 将下列复数表示为代数形式： (1)2(cos??3?3??isin)；(2)2[cos(?)?isin(?)]． 3344??13?isin)＝2(?i)?1?3i． 3322解 (1) 2(cos(2) 2[cos(?3?3?3?3?)?isin(?)]?2(cos?isin) 4444?????2[cos(π?)?isin(π?)]?2(?cos?isin)??1?i．

4444运用知识 强化练习

1. 求下列复数的模和辐角主值．（1）z1?4?4i；（2）z2??25i． 2．把下列复数化为三角形式：（1）3?i； （2）4． 续探索 活动探究

(1) 读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习与训练训练题3．1（选做）