2008年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

⑵∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC． 又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC． 取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP． ∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP． ∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角． 在△BCE中，BC=2，cos∠BEC=

，CE=

．

．∴二面角B﹣AP﹣C的大小arccos

⑶由⑴知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD． 过C作CH⊥PD，垂足为H．

∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB． ∴CH的长即为点C到平面APB的距离．

由⑴知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC． ∵CD?平面ABC，∴PC⊥CD．在Rt△PCD中，∴

．∴

，

， ．

．∴点C到平面APB的距离为

【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题．

师补充：给答案太麻烦。在图形中，标出数据，由已知PC?AC，可求出 PC?2，进而很容易确定PC?平面ABC。 ⑴线面垂直判定定理，得PC?平面ABC。 ⑵传统方法，找二面角的平面角，很容易

22 22

cos?BEC?cos??2?3,??arccos3，

336反三角函数表示角。

⑶等体积法或作出垂线段。

22

6 2 2

2

2

VC?PAB?VP?ABC，得出点C到平面APB的距离23。

317．（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位

至少有一名志愿者。 （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量?为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求?的分布列。 【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列． （Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．

5

（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列． 【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，

24

总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C5A4．

3

满足条件的事件数是A3， 那么

，

．

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，

4

满足条件的事件数是A4， 那么

，

．

∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是

（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务， 则∴ ξ P

1

．

，ξ的分布列是

2

【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基

22

本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C5混淆为A5，

18．（13分）（2008?北京）已知函数

，求导函数f′（x），并确定f（x）的单调

区间．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案． 【解答】解：

==．

令f'（x）=0，得x=b﹣1．

当b﹣1＜1，即b＜2时，f'（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，b﹣1） b﹣1 （b﹣1，1） （1，+∞）

0 + f′（x） ﹣ ﹣

当b﹣1＞1，即b＞2时，f'（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，1）（1，b﹣1） b﹣1 （b﹣1，+∞）

+ 0 f′（x） ﹣ ﹣

所以，当b＜2时，函数f（x）在（﹣∞，b﹣1）上单调递减，在（b﹣1，1）上单调递增， 在（1，+∞）上单调递减．

当b＞2时，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，b﹣1）上单调递增，在（b﹣1，+∞）上单调递减．

6

当b﹣1=1，即b=2时，，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，

在（1，+∞）上单调递减．

【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用．导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则．

22

19．（14分）（2008?北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x+3y=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程； （Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值． 【考点】椭圆的应用． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．

（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1． 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD． 于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．

由得4x﹣6nx+3n﹣4=0．

22

因为A，C在椭圆上， 所以△=﹣12n+64＞0，解得

2

．

设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则所以

，．

．

在直线y=x+1上，

，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．

所以AC的中点坐标为

由四边形ABCD为菱形可知，点所以

，解得n=﹣2．

所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0． （Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°， 所以|AB|=|BC|=|CA|． 所以菱形ABCD的面积由（Ⅰ）可得所以

．

．

，

所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．

【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配

7

20．（13分）（2008?北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，an﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又

222

定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b1+b2+…+bm．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．

（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．

【考点】数列的应用． 【专题】压轴题；探究型． 【分析】（Ⅰ）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过Ak+1=T2（T1（Ak））求解．

222

（Ⅱ）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A）），由S（A）=2（a1+2a2++nan）+a1+a2++an，两者作差比较．

（Ⅲ）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，an．在存在1≤i＜j≤n，有ai≤aj时条件下，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，在存在1≤m＜n，使得am+1=am+2═an=0时条件下，若记数列a1，a2，…，am为C，Ak+1=T2（T1（Ak））s（Ak+1）≤S（T1（Ak））．由S（T1（Ak））=S（Ak），得到S（Ak+1）≤S（Ak）．S（Ak）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（Ak）=S（Ak+1）=S（Ak+2）=0． 【解答】解：（Ⅰ）解：A0：5，3，2，T1（A0）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A0））：4，3，2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1））：4，3，2，1． （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，an， 则T1（A）为n，a1﹣1，a2﹣1，an﹣1，

222

从而S（T1（A））=2[n+2（a1﹣1）+3（a2﹣1）++（n+1）（an﹣1）]+n+（a1﹣1）+（a2﹣1）++

2

（an﹣1）．

222

又S（A）=2（a1+2a2++nan）+a1+a2++an，

2

所以S（T1（A））﹣S（A）=2[n﹣2﹣3﹣﹣（n+1）]+2（a1+a2++an）+n﹣2（a1+a2++an）+n=﹣n

2

（n+1）+n+n=0， 故S（T1（A））=S（A）．

（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，an．

当存在1≤i＜j≤n，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B， 则S（B）﹣S（A）=2（iaj+jai﹣iai﹣jaj）=2（i﹣j）（aj﹣ai）≤0．

当存在1≤m＜n，使得am+1=am+2═an=0时，若记数列a1，a2，am为C， 则S（C）=S（A）． 所以S（T2（A））≤S（A）．

从而对于任意给定的数列A0，由Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，） 可知S（Ak+1）≤S（T1（Ak））． 又由（Ⅱ）可知S（T1（Ak））=S（Ak），所以S（Ak+1）≤S（Ak）． 即对于k∈N，要么有S（Ak+1）=S（Ak），要么有S（Ak+1）≤S（Ak）﹣1．

因为S（Ak）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（Ak）=S（Ak+1）=S（Ak+2）=0． 即存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（A）

【点评】本题是一道由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，要注意新数列的前几项一定不能出错，一出旦错，则整体出错．

8