2008年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．已知全集U?R，集合A?{x|﹣ 2?x?3}，B?{x|x?﹣或1x?4}，那么集合A?B等于（ ）A．{x|?1?x?3} B．{x|x?﹣或1x?3} C．{x|?2?x??1} D．{x|?1?x?3} 2．若a?2，b?log?3，c?log2sin2?，则（ ）

0.55 A．a?b?c B．b?a?c C．c?a?b D．b?c?a

3． “函数f(x)(x?R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ） 4．若点P到直线x??1的距离比它到点(2，A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

?x?y?1?0?x?2y5．若实数x,y满足?x?y?0则z?3的最小值是（ ）

?x?0?A．0 B．1

C．3 D．9

6．已知数列{an}对任意的p,q?N*满足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（ ） A．?165 B．?33 C．?30 D．?21

227．过直线y?x上的一点作圆(x?5)?(y?1)?2的两条切线l1,l2，当直线l1,l2关于y?x对称时，它们之间的夹角为（ ）

A．30 B．45 C．60 D．90 【考点】圆的切线方程． 【专题】压轴题．

【分析】过圆心M作直线l：y?x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出

????夹角为60。明白N点后，用图象法解之也很方便。

22（5，1）（5，1）【解答】圆(x?5)?(y?1)?2的圆心，过与y?x垂直的直线方程：x?y?6?0，它?（3，3）（5，1）与y?x的交点N，N到距离是22，两条切线l1,l2，它们之间的夹角为60。故选C．

?【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的

非常普遍。

师补充：由切线长定理，l1,l2关于直线p对称，由已知，得直线 yy?x l1 p与直线y?x垂直，故得p:x?y?6?0，从而得y?x与

l2 N(3,3) p:x?y?6?0的交点N(3,3)，而|MN|?22，半径为2，得 M(5,1)

x O

p:x?y?6?0

P作垂直于平面BB1D1D的直8．如图，动点P在正方体ABCD?A1BC11D1的对角线BD1上。过点

l1,l2的夹角为60?。

线，与正方体表面相交于M,N。设BP?x，MN?y，则函数y?f(x)的图象大致是（ ）

1

A． B． C． D． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】压轴题．

P点移动时，【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．

【解答】设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数y?MN?AC?2取得唯一最大值，所以排除A、C；

当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1， 则y?MN?M1N1?2BP1?2?xcos?D1BD?2?2x是一次函数，所以排除D。故选B．

3【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法。 师补充：设正方体的棱长为1，

解：如图，E,F分别为A1A,C1C的中点，EF//AC， D1 C1 EF?平面BB1D1D，在平面EBFD1中，作EF的平行线

MN，即满足已知条件。当0?x?3时，

2A1 O P B1 F MN?BP，得y?MN?x?2?22x； EFBO3323?x?3时，MN?3?BP，得 当2EFD1OE M D A N C B y?MN?3?x?2?22(3?x)，分段函数，故选B。

332二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．已知(a-i)?2i，其中i是虚数单位，那么实数a? 。

2????????10．已知向量a与b的夹角为120，且|a|?|b|?4，那么b?(2a?b)的值为 。

【分析】向量数量积运算，三种方法：一定义，二坐标，三是数形结合。

?2?11．若?x?13?展开式的各项系数之和为32，则n? ，其展开式中的常数项为 。（用数

x??字作答）

n 2

12．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则

f(f(0))? ；lim?x?0f(1??x)?f(1)（用数字作答） ? 。

?x

【分析】由函数的图象可知，y??几何意义知lim??2x?4,0?x?2，当0?x?2，f?(x)??2，所以由导数的

x?2,2?x?6?f(1??x)?f(1)?f?(1)??2。

?x?0?x13．已知函数f(x)?x2?cosx，对于???,??上的任意x1,x2，有如下条件：

??22??22①x1?x2；②x1；③|x1|?x2。 ?x2其中能使f(x1)?f(x2)恒成立的条件序号是 。

【考点】函数奇偶性的性质；导函数确定单调性。 【专题】压轴题．

【分析】函数是个偶函数，由于f?(x)?2x?sinx，在?0,??上f?(x)?0，可推断出函数在y轴

???2?两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f(x1)?f(x2)恒成立，只需x1到原点的距离比x2到原点的距离大即可，由此可得出|x1|?|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可。

【解答】函数f(x)在?0,??上为单调增函数，由偶函数性质知函数在???,0?上为减函数。

?2???22当x1时，得|x1|?|x2|?0，∴f(|x1|)?f(|x2|)，由函数f(x)在上???,??为偶函数得?x2??22??f(x1)?f(x2)，故②成立。

∵????，而f(?)?f(??)，∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②。故应填②

3333【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的

解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙。

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点

???2??x?x?1?5?Tk?1?Tk?2?k?1?k?55???。T(a) 表

Pk(xk,yk)处，其中x1?1,y1?1，当k?2时，??yk?yk?1?Tk?1?Tk?255?（2.6）?2，（T0.2）?0。按此方案，第6棵树种植点的坐标应示非负实数a的整数部分，例如T为 ；第2009棵树种植点的坐标应为 。

【考点】数列的应用． 【专题】压轴题；规律型．

，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，?； 【分析】由题意可知，数列{xn}为1????????，，，，，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，?由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第数列{yn}为111112009棵树种植点的坐标。

3

3，4，5，? 【解答】∵Tk?1?Tk?2组成的数列为0， k?2，0，0，01，，0，0，0，01，，0，0，0，01,，?，，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，? 一一代入计算得数列{xn}为1即xn的重复规律是x5n?1?1，x5n?2?2，x5n?3?3，x5n?4?4，x5n?5。n?N?。

?5??5?，，，，，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，? 数列{yn}为11111即yn的重复规律是y5n?k?n?1，0?k?5。

（1，2）（4，402）∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为。

【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用。 师补充：答案抽象。 P,1),P,2),P1(12(2,1),P3(3,1),P4(4,1),P5(5,1), P6(17(2,2),P8(3,2),P9(4,2),P10(5,2),

P,3),P,2),P11(112(2,3),P13(3,3),P14(4,3),P15(5,3),?，周期数列，周期为5，故得P6(12009(4,402)。三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）已知函数f(x)?sin2?x?3sin?xsin⑴求?的值；

⑵求函数f(x)在区间?0,2??上的取值范围。

(??0)的最小正周期为?。 ??x??2????3?【略解】⑴f(x)???sin2?x???1，2???，解得??1。 ⑵由⑴得f(x)?sin2x???1。

??6?6?22?2∵0?x?2?，∴???2x???7?，∴?1?sin2x???1，

66626∴0?sin2x???1?3，即f(x)的取值范围为?0,3?。

?2??622??3???【点评】公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方。

?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC。 16．（14分）如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，⑴求证：PC?AB；

⑵求二面角B?AP?C的大小； ⑶求点C到平面APB的距离。

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算． 【专题】计算题；证明题．

【分析】⑴欲证PC⊥AB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB⊥平面PCD，欲证AB⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD=D，满足定理条件；

⑵取AP中点E．连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，在△BCE中求出此角即可；

⑶过C作CH⊥PD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在Rt△PCD中利用勾股定理等知识求出CH即可．

【解答】⑴取AB中点D，连接PD，CD．

∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．

∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．

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