通信原理辅导及习题解析

机过程X(t)的一个样本函数；

若固定时刻t1，则X(t1)?acos(?t1??)是一个随机变量。 基本题型II：验证某一随机过程是否平稳。

例2已知??t??sin??0t???，其中?0为常数，??0,2??上均匀分布的随机变量，验证?(t)是否平稳。

【问题分析】熟练掌握平稳过程的定义，即其数学期望为一个常数，自相关函数仅于时间间隔有关。 【问题解答】数学期望

a?t??E??sin?0tcos??cos?0tsin????sin??0t??????E?2?2?11 ?sin?0t?cos??d??cos?0t?sin??d? ， 002?2? =0自相关函数

R?t1,t2??E??sin??0t1???sin??0t2????? =E?cos?0?t2?t1??cos???0?t1?t2??2????11 =cos?0?t2?t1??cos?0?22??2??

可见，该随机过程的数学期望为常数，自相关函数仅于时间间隔有关，所以该随机过程是平稳的。 基本题型III：平稳过程功率谱密度的计算 例3求例2中?(t)的功率谱密度。

【问题分析】平稳随机过程的功率谱密度很难直接求得，可首先求出自相关函数，再利用维纳－辛钦公式获得功率谱密度。 【问题解答】：功率谱密度

P?????????R(?)e?j??d?1? ??cos?0?e?j??d?2??1? =?e?j(???0)??e?j(???0)?d?

4???? =?2[?(???0)??(???0)]基本题型IV：平均功率的计算

例4 计算例2与3中随机过程的平均功率。

【问题分析】可从时域与频域两种角度计算，即平均功率

S?R(0)?12?????P????d???P??f?df。

???【问题解答】平均功率

1S?R(0)?2?????P????d??1 2基本题型V：基本概念的考察

例5 严平稳与宽平稳随机过程之间的关系。 例6 窄带随机过程的两种表达式。

例7 带通白噪声的功率谱密度、自相关函数、平均功率与一维概率密度函数。

【问题分析】该类题目还经常以填空与选择的形式出现，重点在于基本概念的掌握。具体解答请参考思考题部分。

考研历年真题评析

总体来看，本章的内容在考研题曾多次出现，具体题型有简答题、填空题、选择题、计算题，考查重点主要集中在平稳随机过程的概念、高斯随机过程的特性、平稳随机过程通过线性系统、窄带随机过程的概念、白噪声等方面。

简答题

1．（西安电子科技大学2009）：随机信号?(t)是一个平稳随机过程，利用它的自相关函数可以获得?(t)的哪些信息？

【问题分析】该题的考点是平稳随机过程自相关函数的性质，它不仅可以用来描述平稳过程的数字特征，还与平稳过程的谱特性有内在的联系。

【问题解答】由于?(t)是一个平稳随机过程，利用它的自相关函数可以获得?(t)的很多信息，比如：1）功率谱密度P?(?)????R?(?)e?j??d?；2）?(t)的平均功率E[?2(t)]?R?(0)；3）R?(?)?R?(??)---R?(?)的偶函数；4)R?(?)?R?(0)---R?(?)的上界；5）R?(?)?E2[?(t)]?a2---?(t)的直流功率；6）R?(0)?R?(?)??2---?(t)的交流功率。

2．（西安电子科技大学2005）什么是广义平稳随机过程？什么是狭义平稳随机过程？它们之间有什么关系？

【问题分析】该题的考点是广义和狭义平稳随机过程的定义。 【问题解答】若一个随机过程?(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数?，有

fn(x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn)?fn(x1,x2,?,xn;t1??,t2??,?,tn??)

?则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称狭义平稳随机过程。

若平稳随机过程的均值和自相关函数分别为：

E??(t)???x1f1(x1)dx1?a???R(t1,t2)?E??(t1)?(t1??)??????????

x1x2f2(x1,x2;?)dx1dx2?R(?)即均值与t无关，为常数a；自相关函数只与时间间隔??t2?t1有关，

R(t1,t1??)?R(?)，满足上述条件的过程称为广义平稳随机过程。

广义平稳随机过程一定是狭义平稳随机过程；但狭义平稳随机过程不一定是广义平稳随机过程。

3. （南京邮电大学2006）窄带高斯噪声有哪两种表示方法？它们各具有什么样的统计特性？

【问题分析】该题的考点是窄带随机过程的表示形式及其统计特性。 【问题解答】窄带高斯噪声的表示方法一：以包络和相位的形式给出

?(t)?a?(t)cos[?ct???(t)]a?(t)?0

表示方法二：以同相分量和正交分量的形式给出

?(t)??c(t)cos?ct??s(t)sin?ct

以方法一（包络和相位的形式）表示的均值为0、方差为??2的窄带高斯噪声，其包络a?(t)的一维分布是瑞利分布，相位??(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a?(t)与??(t)是统计独立的。 以方法二（同相分量和正交分量的形式）表示的均值为0的窄带平稳高斯噪声，它的同相分量?c(t)和正交分量?s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为0，方差相同，在同一时刻得到的?c(t)和?s(t)是互不相关的或统计独立的。 填空题

1.（天津大学2003）将一个均值为0，功率谱密度为

n0的高斯白噪2声加到一个中心角频率为?c，带宽为B的理想带通滤波器上，该滤波器输出噪声的自相关函数为 。