湖南省郴州市2017届高三普通高中学业水平考试摸底测试数学试题(解析版)

这5人中抽出2人的基本事件有（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（B1，B2）共10种， 此两人分别来自高一和高二年级的事件共有6种， 故其概率P=

=

【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，以及，求等可能事件的概率的方法，属于中档题．

17．已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn． 【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． a1+a2，2【分析】（I）由a1，（a1+a4）成等比数列，可得=2a1（2a1+6），解得a1即可得出．

（II）bn=an+2n﹣1=（2n﹣1）+2n﹣1．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：（I）∵等差数列{an}的公差为2， ∴a2=a1+2，a4=a1+6，

∵a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列， ∴

=2a1?（a1+a4），即

=2a1（2a1+6），解得a1=1．

=2a1?（a1+a4），即

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． （II）bn=an+2n﹣1=（2n﹣1）+2n﹣1． ∴数列{bn}的前n项和Sn=

+

=n2+2n﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．如图，AE⊥正方形BCDE所在的平面，点F，G分别是AB和AC的中点． （Ⅰ）求证：FG∥平面ADE； （Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面ACE．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】（I）由中位线定理和平行公理可知FG∥DE，故FG∥平面ADE；

（II）由AE⊥平面BCDE可知AE⊥BD，由正方形性质得EC⊥BD，故而BD⊥平面ACE，从而平面ABD⊥平面ACE．

【解答】证明：（I）∵点F，G分别是AB和AC的中点， ∴FG∥BC，又BC∥DE，

∴FG∥DE，∵FG?平面ADE，DE?平面ADE， ∴FG∥平面ADE．

（II）∵AE⊥平面BCDE，BD?平面BCDE， ∴AE⊥BD，

∵四边形BCDE是正方形，

∴EC⊥BD，又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=C， ∴BD⊥平面ACE，∵BD?平面ABD， ∴平面ABD⊥平面ACE．

【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．

19．已知函数f（x）=

．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域； （Ⅱ）若0＜x1＜x2＜1，试比较

与

的大小．

【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．

【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）由﹣x2+2x≥0即可求出函数定义域，根据二次函数的性质即可求出值域， （Ⅱ）判断函数

=

在区间（0，1）上是减函数，问题得以解决．

【解答】解：（Ⅰ）由﹣x2+2x≥0得0≤x≤2， ∴函数f（x）的定义域为[0，2]， ∵0≤﹣x2+2x≤1，

∴函数f（x）的值域为[0，1]， （Ⅱ）当x＞0时，

=

=

在区间（0，1）上是减函数，

∴0＜x1＜x2＜1时，

＞．

【点评】本题考查了函数的定义域值域的求法，以及函数的单调性的应用，属于基础题．

20．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上． （Ⅰ）求圆C的方程．

（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程． 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆．

【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．

（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．

【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上， 故可设圆心C（a，2a），半径为r．

则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2． ∵圆C经过A（3，2）、B（1，6）， ∴

解得a=2，r=

．

．

∴圆C的标准方程为 （x﹣2）2+（y﹣4）2=5．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=直线l经过点P（﹣1，3），

．

①若直线斜率不存在， 则直线l：x=﹣1．

圆心C（2，4）到直线l的距离为 d=3＜r=

，故直线与圆相交，不符合题意．

②若直线斜率存在，设斜率为k， 则直线l：y﹣3=k（x+1）， 即kx﹣y+k+3=0．

圆心C（2，4）到直线l的距离为 d=

=

．

∵直线与圆相切， ∴d=r，即

=

．

∴（3k﹣1）2=5+5k2， 解得k=2或k=

．

∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．

【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题．