数字信号处理期末考试试题以及参考答案

解：h1(n)?h2(n)?h(n)

H1(z)H2(z)?H(z)，而H1(z)?1?0.5z?1

所以H2(z)?1,z?0.5 ?11?0.5zh2(n)?0.5nu(n)

2（．6分）已知一个时域离散系统的流程图如图2所示，其中m为一个实常数，（1）试求系统函数H(z)；（2）若系统是因果的，试求系统函数的收敛域；（3）m取何值时，该系统是因果稳定的。

x(n) y(n)

m? 3z?1 m? 4图2

m?1z4解：H(z)? m?11?z31?若系统是因果的，试求系统函数的收敛域z?m。 3m?1,即m?3，该系统是因果稳定的。 33．（8分）设信号x(n)??（n），（1）计算x(n)与x(n)的线性卷积y1(n)（2）计??（n?1）??（n?2）算x(n)与x(n)的8点圆周卷积y2(n)，并与（1）的结果比较，指出圆周卷积与线性卷积的关系。 解：y1(n)??1,2,3,2,1?

y2(n)??1,2,3,2,1,0,0,0?

y2(n)是y1(n)以8为周期，周期延拓再取主值区间得到的

1,0,0,0,3?，4．（9分）已知一个有限长序列为x(n)??（1）求它的8点DFTX(k)；（2）已知序列y(n)的

8点DFT为Y(k)?W84kX(k)，求序列y(n)；（3）已知序列g(n)的8点DFT为G(k)?X(k)Y(k)，求序列g(n)

5

解：（1）x(n)??(n)?3?(n?4)

X(k)??n?0N?1nkx(n)WN????(n)?3?(n?4)?Wn?07nk8?1?3W84k?1?3(?1)k,0?k?7

X(k)??4,?2,4,?2,4,?2,4,?2?

（2）由Y(k)?W84kX(k)可知，y(n)与x(n)的关系为

y(n)?x((n?4))8R8(n)??3,0,0,0,1,0,0,0??3?(n)??(n?4)

（3）g(n)为x(n)和y(n)的8点圆周卷积

G(k)?1?3W84k1?3W84kW84k?1?3W84kW84k?3W80k?W84k?3W80k??3W80k?9W84k?10W84k?6W80kg(n)?6?(n)?10?(n?4)

????????

1?1z35．（8分）设IIR数字滤波器的系统函数为H(z)?，试求该滤波器的差分方程，并用一3?11?21?z?z481?阶节的级联型以及一阶节的并联型结构实现之。（注：级联型和并联型各画一种可能的结构即可）。

131x(n?1)?y(n?1)?y(n?2) 34811?z?13 H(z)?1?1??1?1???1?z??1?z?42???? 级联型

解：y(n)?x(n)? 或

x(n) y(n)

1? 4z?1 1 3?1 2z?1 x(n) y(n)

1? 2z?1 1 3?1 4z?1 6

13?并联型H(z)?1?11?z1?4

23 1?1z21 3x(n) 1? 4z?1 y(n)

2 31? 2z?1 6．（8分）某二阶模拟低通滤波器的传输函数为Ha(s)?2?cs?3?cs?223?c，试用双线性变换设计一个

低通数字滤波器，并用直接Ⅱ型结构实现之，已知低通数字滤波器的3dB截止频率为fc?1kHz，系统抽样频率为fs?4kHz。（注：C?2，T为抽样周期） T2?2???2??c?2?T??tg?解：?? ??；Ha(s)?c?2T2T???2??2?s2?3??s?3???T??T??2????T??2?2??2?2s?3??s?3???T??T?122H(z)?Ha(s)s?21?z?1T1?z?1s?21?z?1T1?z?1

?4?3?4z?1?z?1??1?z?1??????1?z?1??3?1?z?1??3????121?z?1?z?24?34?34?3?44?3?21?z?1?z4?34?3?1?2z?1?z?2?1?4?3z??

?214?3直接Ⅱ型

x(n) ?4 y(n)

注：计算结果不正确但思路正确可酌情给分

?12 z 4?34?34?3z?1 1? 4?34?3

7