2016年广东省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)

由题意，得

，

，z=2100x+900y．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得 （60，100），

，解得： ，A

目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC

∴cosC=，

∴C=；

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（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，

∴（a+b）2﹣3ab=7，

∵S=absinC=ab=，

∴ab=6，

∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5，

∴△ABC的周长为5+ ． 18．

【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC， ∵AF?平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，

可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC， ∵BE⊥EF， ∴BE⊥平面EFDC 即有CE⊥BE，

可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°．

∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC，

∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF，

∴四边形EFDC为等腰梯形．

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以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，

则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），

∴ =（0，2a，0）， =（，﹣2a，a）， =（﹣2a，0，0）

， 设平面BEC的法向量为 =（x1，y1，z1），则

则 ，取 =（ ，0，﹣1）． ， 设平面ABC的法向量为 =（x2，y2，z2），则

则 ，取 =（0， ，4）．

设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=

==﹣，

则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．

19．

【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P（X=16）=（）=，

P（X=17）= ，

2 2

P（X=18）=（）+2（）=，

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2

P（X=19）= =，

P（X=20）= ==，

P（X=21）= =，

P（X=22）= ，

∴X的分布列为： X P 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18） =

=．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= +=．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．

（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= +=．

买19个所需费用期望：

EX1=200× +（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500

×3）×=4040，

买20个所需费用期望：

EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，

∵EX1＜EX2， ∴买19个更合适．

解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用， 另一部分为备件不足时额外购买的费用，

当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040， 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，

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