2018数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版

高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班

平面几何（四点共圆）冲刺讲义

________班_______号 姓名________________

一、知识准备

以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识： 1.欧拉线：

的垂心

，重心

，外心

三点共线.

此线称为欧拉线，且有关系：

2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，

以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，

共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.

①

的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点

的外接圆半径的

②九点圆的半径是

.

3.三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为，

交

于

； ，则：

分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于

①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直； ②③④

，

；

（角平分线定理）；

（“鸡爪”定理）.

二、例题分析

例1.是

、

于

的外接圆、

，求证：

的直径，过

.

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作圆的切线交于，连接并延长分别交

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证明：过作

取中点

的平行线分别交、于、，则

，连接、、、.

，四点共圆.

，而由，

而

是

，而

的中点，是.

，有四点共圆. ，

的中点，

例2.等腰梯形

的一点，证明：

中，，．

∥

，

，

分别是的延长线于

，. ，

.

.

.

.

的内心，是直线上

的外接圆交

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证明：

，故

则而所以， 例3. 在是

求证：

中，

，内心为，内切圆在是

关于点的对称点.

，

边上的切点分别为

，

，设

，由此，

．

，因此

共圆，

，

，

关于点的对称点，

四点共圆.

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证明：设直线

交

，则则半周长

的外接圆于点

，易知

的中点为由于于是又所以熟知：所以进而所以

都在以

，即∽

，且相似比为， 。又是

∽的中点

， ．设点

是

的中点，记 上的射影为

，

在直线， ， ，

为圆心的同一个圆周上．

例4.设A、B为圆? 上两点，X为? 在A和B处切线的交点，在圆? 上选取两点C、D使得C、

D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：X、F、G、H四点共圆． 证明：设O为圆心，AB∩XO = M．

∵ △XOA∽△XAM，∴ OX·XM = XA 2 = XC·XD．

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