必修4第一章1.2任意角的三角函数;1.3三角函数的诱导公式

（如图阴影部分），结合单位圆上的三角函数线可得：

?是第一象限角时， 2???sin＝AB，cos＝OA，tan＝CT， 222???从而得，cos

222?②当是第三象限角时，

2???sin＝EF，cos＝OE，tan＝CT， 222???得sin

222????综上可得，当在第一象限时，cos

2222????当在第三象限时，sin

同角三角函数的基本关系

一、考点突破 知识点 课标要求 1. 理解并掌握同角三角函数同角三角函数基本关系式 基本关系式的推导及应用； 2. 会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明 选择题 填空题 应用题 题型 说明 通过由三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式过程，使学生学会用联系的观点提出问题，获得研究思路，这是数学研究中的常用思想方法

二、重难点提示

重点：同角三角函数的基本关系式。

难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用。

考点一：同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1。 （2）商数关系：【要点诠释】

sin? ＝tan?。cos?（1）同角三角函数的基本关系式提示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”有二层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角。

（2）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin3??cos3??1，222?tan?。

?2cos2sin?（3）同一个角的正弦与余弦的平方和等于1，商等于该角的正切。

（4）由于利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用。 （5）“sin?”是“(sin?)”的简写，读作“sin?的平方”不能将sin?写成sin?， 前者是?正弦的平方，后者是?平方的正弦，两者的意义显然不同。

（6）应用平方关系在开方时，需根据角所在的象限判断符号，当角所在象限不明确时，要进行分类讨论。

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考点二：同角三角函数的基本关系的应用

同角三角函数的基本关系主要应用于以下几个方面：

（1）已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值——求值问题；有三种常见题型：

① 已知角?的某一个三角函数值及角?的终边所在的象限，求角?的其他三角函数

值。

② 已知角?的某一个三角函数值，但不确定角?的终边所在的象限，求角?的其他

三角函数值。

③ 已知角?的某一个三角函数值，且是用字母给出的，没有指定角?的终边所在的象

限，求角?的其他三角函数值。 （2）化简三角函数式——化简问题；

利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求是： ①使式中的项数尽量少； ②使三角函数的次数尽量低； ③使三角函数的种类尽量少；

④使式中的分母、根式中尽量不含三角函数； ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号； ⑥能求值的尽可能求值。

（3）证明三角恒等式——证明问题； 证明三角恒等式的常用方法： ①从一边开始，证明它等于另一边； ②证明左右两边等于同一个式子； ③由繁到简，逐步寻找等式成立的条件； ④变更命题法，如要证

ACDC?，可证AD?BC或证?等。 BDBA不论哪一种方法，一般都要遵循由繁到简的原则。

例题1 （利用同角三角函数关系求值）

4，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值。 34思路分析：由商数关系，得sin α＝cos α，联想平方关系，构建关于sin α，cos α的

3已知tan α＝

方程，进而求出三角函数值。

答案：由tan α＝得sin α＝

sin?4＝， cos?34cos α， ① 3又sin2α＋cos2α＝1， ②

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cosα＋cos2α＝1， 99cos2α＝，

25由①②得

又α是第三象限角， ∴cos α＝－sin α＝－

3， 54。 5技巧点拨：1. 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公

式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系。

2. 开方时应注意角所在象限对三角函数值符号的影响，若角所在象限已经确定，求解只有一组结果；否则应分类讨论，对应有两组解，同时应体会方程思想的运用。

例题2 （利用同角关系式化简三角函数式） 若0<θ<

tan??sin?sin??，化简·

tan??sin?1?cos?2tan??sin?，考虑到因式

tan??sin?思路分析：先弦切互化，减少三角函数的名称，对于

sin?(1?cos?)2的特征，需等价转化为，进而把问题解决。

1?cos?(1?cos?)(1?cos?)答案：原式＝

tan??tan??cos?sin?· tan??tan??cos?1?cos?1?cos?sin?sin?(1?cos?)2＝·＝· 1?cos?1?cos?1?cos?1?cos2??又0<θ<，∴sin θ>0，

2sin?1?cos?sin?故原式＝·＝＝1。

21?cos?sin?sin?技巧点拨：1. 弦切互化是三角函数式化简的最常用方法，一般是化切为弦，通过减少函数名称，达到化简的目的，但对于关于sin θ，cos θ的齐次式，也可采取化弦为切。

2. 对于含有三角函数的二次根式化简问题，常把被开方数配成完全平方式，然后借助角的范围开方化简，若给出的范围不明确，对函数值产生影响时，应注意讨论。

证明三角恒等式

sin??cos??11?sin?【满分训练】求证：＝。

sin??cos??1cos?思路分析：解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较，关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。

答案：证明：左边 ＝

(sin??cos??1)(sin??cos??1)

(sin??cos??1)(sin??cos??1)(sin??1)2?cos2?＝ 2(sin??cos?)?1(sin2??2sin??1)?(1?sin2?)＝ sin2??cos2??2sin?cos??12sin2??2sin?＝ 1?2sin?cos??1